Multivariante t -distribución

T multivariante

Notación	${\displaystyle t_{\nu }({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$
Parámetros	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=[\mu _{1},\dots ,\mu _{p}]^{T}}$ ubicación ( vector real ) matriz de escala ( matriz real definida positiva ) son los grados de libertad${\displaystyle p\times 1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle \nu }$
Apoyo	${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p}\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2}}$
CDF	No hay expresión analítica, pero consulte el texto para obtener aproximaciones.
Significar	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$si ; más indefinido${\displaystyle \nu >1}$
Mediana	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$
Modo	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$
Diferencia	${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}{\boldsymbol {\Sigma }}}$si ; más indefinido${\displaystyle \nu >2}$
Oblicuidad	0

En las estadísticas , la multivariante t distribución t (o distribución de Student multivariante ) es una distribución de probabilidad multivariante . Es una generalización a vectores aleatorios de la de Student t distribución t , que es una distribución aplicable a univariantes variables aleatorias . Si bien el caso de una matriz aleatoria podría tratarse dentro de esta estructura, la distribución t de la matriz es distinta y hace un uso particular de la estructura de la matriz.

Definición

Un método común de construcción de una distribución t multivariada , para el caso de las dimensiones, se basa en la observación de que si y son independientes y se distribuyen como y (es decir, distribuciones multivariadas normales y chi-cuadrado ) respectivamente, la matriz es una p  ×  p matriz, y luego tiene la densidad${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathbf {0} },{\boldsymbol {\Sigma }})}$${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } \,}$${\displaystyle {\mathbf {y} }/{\sqrt {u/\nu }}={\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle {\mathbf {x} }}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2}}$

y se dice que se distribuye como una distribución t multivariante con parámetros . Tenga en cuenta que no es la matriz de covarianza ya que la covarianza viene dada por (para ).${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\mu }},\nu }$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle \nu /(\nu -2)\mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle \nu >2}$

En el caso especial , la distribución es una distribución de Cauchy multivariante .${\displaystyle \nu =1}$

Derivación

De hecho, hay muchos candidatos para la generalización multivariante de Student t -distribución . Kotz y Nadarajah (2004) realizaron un estudio extenso del campo. La cuestión fundamental es definir una función de densidad de probabilidad de varias variables que sea la generalización adecuada de la fórmula para el caso univariante. En una dimensión ( ), con y , tenemos la función de densidad de probabilidad${\displaystyle p=1}$${\displaystyle t=x-\mu }$${\displaystyle \Sigma =1}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma [(\nu +1)/2]}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma [\nu /2]}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}}$

y un enfoque es escribir una función correspondiente de varias variables. Esta es la idea básica de la teoría de la distribución elíptica , donde uno escribe una función correspondiente de variables que reemplaza por una función cuadrática de todos los . Está claro que esto solo tiene sentido cuando todas las distribuciones marginales tienen los mismos grados de libertad . Con , uno tiene una opción simple de función de densidad multivariante${\displaystyle p}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t^{2}}$${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mathbf {A} ={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}$

${\displaystyle f(\mathbf {t} )={\frac {\Gamma ((\nu +p)/2)\left|\mathbf {A} \right|^{1/2}}{{\sqrt {\nu ^{p}\pi ^{p}\,}}\,\Gamma (\nu /2)}}\left(1+\sum _{i,j=1}^{p,p}A_{ij}t_{i}t_{j}/\nu \right)^{-(\nu +p)/2}}$

que es el estándar pero no la única opción.

Un caso especial importante es el estándar de dos variables t -distribución, p = 2:

${\displaystyle f(t_{1},t_{2})={\frac {\left|\mathbf {A} \right|^{1/2}}{2\pi }}\left(1+\sum _{i,j=1}^{2,2}A_{ij}t_{i}t_{j}/\nu \right)^{-(\nu +2)/2}}$

Tenga en cuenta eso .${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\pi }}}$

Ahora, si es la matriz identidad, la densidad es${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle f(t_{1},t_{2})={\frac {1}{2\pi }}\left(1+(t_{1}^{2}+t_{2}^{2})/\nu \right)^{-(\nu +2)/2}.}$

La dificultad con la representación estándar se revela en esta fórmula, que no se factoriza en el producto de las distribuciones marginales unidimensionales. Cuando es diagonal, se puede demostrar que la representación estándar tiene correlación cero, pero las distribuciones marginales no concuerdan con la independencia estadística .${\displaystyle \Sigma }$

Función de distribución acumulativa

La definición de la función de distribución acumulativa (CDF) en una dimensión se puede extender a múltiples dimensiones definiendo la siguiente probabilidad (aquí hay un vector real):${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle F(\mathbf {x} )=\mathbb {P} (\mathbf {X} \leq \mathbf {x} ),\quad {\textrm {where}}\;\;\mathbf {X} \sim t_{\nu }({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}).}$

No existe una fórmula simple para , pero se puede aproximar numéricamente a través de la integración de Monte Carlo . ^{[1] [2]}${\displaystyle F(\mathbf {x} )}$

Cópulas basadas en la t multivariante

El uso de tales distribuciones goza de un interés renovado debido a las aplicaciones en finanzas matemáticas , especialmente mediante el uso de la cópula t de Student . ^{[ cita requerida ]}

Conceptos relacionados

En estadística univariante, la de Student t -test hace uso de Student t -distribución . La distribución T- cuadrada de Hotelling es una distribución que surge en las estadísticas multivariadas. La matriz t -distribución es una distribución de variables aleatorias dispuestas en una estructura matricial.

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Ver también

• Distribución normal multivariante , que es un caso especial de la distribución t de Student multivariante cuando .${\displaystyle \nu \uparrow \infty }$
• Distribución Chi , la pdf del factor de escala en la construcción de la distribución t de Student y también la norma 2 (o norma euclidiana ) de un vector multivariado normalmente distribuido (centrado en cero).
• Distancia de Mahalanobis

Referencias

1. Botev, ZI; L'Ecuyer, P. (6 de diciembre de 2015). "Estimación de probabilidad eficiente y simulación de la distribución t de student multivariada truncada". Conferencia de simulación de invierno de 2015 (CSM) . Huntington Beach, CA, EE.UU .: IEEE. págs. 380–391. doi : 10.1109 / WSC.2015.7408180 .
2. Genz, Alan (2009). Cálculo de probabilidades normales y t multivariadas . Saltador. ISBN 978-3-642-01689-9.

Literatura

• Kotz, Samuel; Nadarajah, Saralees (2004). Distribuciones t multivariadas y sus aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521826549.
• Cherubini, Umberto; Luciano, Elisa; Vecchiato, Walter (2004). Métodos de cópula en finanzas . John Wiley e hijos. ISBN 978-0470863442.

Enlaces externos

• Métodos de cópula vs distribuciones canónicas multivariadas: la distribución multivariante T de Student con grados generales de libertad
• Multivariado de Student t -distribución