Teorema de separación de fondos mutuos

En la teoría de la cartera , un teorema de separación de fondos mutuos , un teorema de fondos mutuos o un teorema de separación es un teorema que establece que, bajo ciertas condiciones, la cartera óptima de cualquier inversor puede construirse manteniendo cada uno de ciertos fondos mutuos .en proporciones apropiadas, donde el número de fondos mutuos es menor que el número de activos individuales en la cartera. Aquí, un fondo mutuo se refiere a cualquier cartera de referencia específica de los activos disponibles. Hay dos ventajas de tener un teorema de fondos mutuos. Primero, si se cumplen las condiciones relevantes, puede ser más fácil (o costos de transacción más bajos) para un inversionista comprar una cantidad menor de fondos mutuos que comprar una cantidad mayor de activos individualmente. En segundo lugar, desde un punto de vista teórico y empírico, si se puede suponer que las condiciones relevantes se cumplen, entonces se pueden derivar y probar las implicaciones para el funcionamiento de los mercados de activos.

Las carteras se pueden analizar en un marco de varianza media , con cada inversionista manteniendo la cartera con la variación de rendimiento más baja posible consistente con el nivel de rendimiento esperado elegido por ese inversionista (llamada cartera de varianza mínima ), si los rendimientos de los activos son conjuntamente elípticos distribuidos , incluido el caso especial en que se distribuyen conjuntamente normalmente . ^[1]^[2] Bajo análisis de media-varianza, se puede mostrar ^[3]que cada cartera de varianza mínima dado un rendimiento esperado particular (es decir, cada cartera eficiente) puede formarse como una combinación de dos carteras eficientes cualesquiera. Si la cartera óptima del inversor tiene un rendimiento esperado que se encuentra entre los rendimientos esperados de dos carteras de referencia eficientes, entonces la cartera de ese inversor se puede caracterizar como compuesta por cantidades positivas de las dos carteras de referencia.

Para ver la separación de dos fondos en un contexto en el que no hay ningún activo libre de riesgo disponible, usando álgebra matricial , sea la varianza del rendimiento de la cartera, sea el nivel de rendimiento esperado de la cartera que la varianza del rendimiento de la cartera debe minimizarse dependiente de, sea el vector de los rendimientos esperados de los activos disponibles, sea el vector de las cantidades que se colocarán en los activos disponibles, sea la cantidad de riqueza que se asignará a la cartera, y sea un vector de unos. Entonces, el problema de minimizar la varianza del rendimiento de la cartera sujeta a un nivel dado de rendimiento esperado de la cartera se puede establecer como ${\ estilo de visualización \ sigma ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ mu}$ ${\ estilo de visualización r}$ ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización W}$ ${\ estilo de visualización 1}$

donde el superíndice denota la transpuesta de una matriz. La varianza del rendimiento de la cartera en la función objetivo se puede escribir como donde es la matriz de covarianza definida positiva de los rendimientos de los activos individuales. El Lagrangiano para este problema de optimización con restricciones (cuyas condiciones de segundo orden pueden demostrarse satisfechas) es $^{T}$ $\sigma ^{2}=X^{T}VX,$ $V$