Transformación natural

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una transformación natural proporciona una forma de transformar un funtor en otro respetando la estructura interna (es decir, la composición de los morfismos ) de las categorías involucradas. Por lo tanto, una transformación natural puede considerarse como un "morfismo de funtores". De hecho, esta intuición se puede formalizar para definir las llamadas categorías de funtores . Las transformaciones naturales son, después de las categorías y los funtores, una de las nociones más fundamentales de la teoría de categorías y, en consecuencia, aparecen en la mayoría de sus aplicaciones.

Si y son funtores entre las categorías y , entonces una transformación natural de a es una familia de morfismos que satisface dos requisitos.${\ estilo de visualización F}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización C}$${\ estilo de visualización D}$ ${\ estilo de visualización \ eta}$${\ estilo de visualización F}$${\ estilo de visualización G}$

Si ambos y son contravariantes , las flechas verticales en este diagrama se invierten. Si es una transformación natural de a , también escribimos o . Esto también se expresa diciendo que la familia de morfismos es natural en .${\ estilo de visualización F}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización \ eta}$${\ estilo de visualización F}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización \ eta: F \ a G}$${\ estilo de visualización \ eta: F \ implica G}$${\ estilo de visualización \ eta _ {X}: F (X) \ a G (X)}$${\ estilo de visualización X}$

Si, para todo objeto en , el morfismo es un isomorfismo en , entonces se dice que es un${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización C}$${\ estilo de visualización \ eta _ {X}}$${\ estilo de visualización D}$${\ estilo de visualización \ eta}$isomorfismo natural (o, a veces,equivalencia naturaloisomorfismo de funtores). Dos funtoresyse llamannaturalmente isomorfoso simplementeisomorfossi existe un isomorfismo natural dea.${\ estilo de visualización F}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización F}$${\ estilo de visualización G}$

Composición horizontal y vertical de transformaciones naturales.