En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría functora es una categoría donde los objetos son los functores y los morfismos son transformaciones naturales entre los functores (aquí, es otro objeto de la categoría). Las categorías de functor son de interés por dos razones principales:
- muchas categorías que ocurren comúnmente son categorías de functores (disfrazados), por lo que cualquier enunciado probado para categorías de functores generales es ampliamente aplicable;
- cada categoría se inserta en una categoría de functor (a través de la inserción de Yoneda ); la categoría de functor a menudo tiene propiedades más agradables que la categoría original, lo que permite ciertas operaciones que no estaban disponibles en la configuración original.
Definición
Suponer es una categoría pequeña (es decir, los objetos y morfismos forman un conjunto en lugar de una clase adecuada ) yes una categoría arbitraria. La categoría de functores de a , escrito como divertido (, ), Funct (,), , o , tiene como objetos los functores covariantes de a , y como morfismos las transformaciones naturales entre tales functores. Tenga en cuenta que las transformaciones naturales se pueden componer: si es una transformación natural del functor al functor , y es una transformación natural del functor al functor , luego la colección define una transformación natural de a . Con esta composición de transformaciones naturales (conocida como composición vertical, ver transformación natural ), satisface los axiomas de una categoría.
De manera completamente análoga, también se puede considerar la categoría de todos los functores contravariantes de a ; escribimos esto como Funct ().
Si y son categorías preaditivas (es decir, sus conjuntos de morfismos son grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilineal ), entonces podemos considerar la categoría de todos los functores aditivos de a , denotado por Add (,).
Ejemplos de
- Si es una pequeña categoría discreta (es decir, sus únicos morfismos son los morfismos de identidad), luego un funtor de a consiste esencialmente en una familia de objetos de , indexado por ; la categoría de functor puede identificarse con la categoría de producto correspondiente: sus elementos son familias de objetos en y sus morfismos son familias de morfismos en .
- Una categoría de flecha (cuyos objetos son los morfismos de , y cuyos morfismos son cuadrados de conmutación en ) es solo , donde 2 es la categoría con dos objetos y sus morfismos de identidad, así como una flecha de un objeto al otro (pero no otra flecha hacia el otro lado).
- Un gráfico dirigido consta de un conjunto de flechas y un conjunto de vértices, y dos funciones desde el conjunto de flechas hasta el conjunto de vértices, especificando el vértice inicial y final de cada flecha. La categoría de todos los gráficos dirigidos no es más que la categoría de functor, dónde es la categoría con dos objetos conectados por dos morfismos paralelos (origen y destino), y Set denota la categoría de conjuntos .
- Cualquier grupo puede considerarse como una categoría de un solo objeto en la que todo morfismo es invertible. La categoría de todos-sets es lo mismo que la categoría de functor Set.
- Similar al ejemplo anterior, la categoría de -linear representaciones del grupoes lo mismo que la categoría de functor k -Vect(donde k -Vect denota la categoría de todos los espacios vectoriales sobre el campo ).
- Cualquier anillo puede considerarse como una categoría preaditiva de un objeto; la categoría de módulos de la izquierda sobre es lo mismo que la categoría de functor aditivo Agregar (,) (dónde denota la categoría de grupos abelianos ), y la categoría de derecho-modules es Add (). Debido a este ejemplo, para cualquier categoría preaditiva, la categoría Agregar (,) a veces se denomina "categoría de módulos de la izquierda sobre y añadir(,) es la categoría de módulos correctos sobre .
- La categoría de pretensiones en un espacio topológico es una categoría functor: convertimos el espacio topológico en una categoría tener los juegos abiertos en como objetos y un solo morfismo de a si y solo si está contenido en . La categoría de pre-oleadas de conjuntos (grupos abelianos, anillos) en es entonces la misma que la categoría de functores contravariantes de a (o o ). Debido a este ejemplo, la categoría Funct (, ) a veces se llama la " categoría de pre-oleadas de conjuntos en incluso para categorías generales no surgiendo de un espacio topológico. Para definir poleas en una categoría general, se necesita más estructura: una topología de Grothendieck en. (Algunos autores se refieren a categorías que son equivalentes acomo categorías previas a la gavilla . [1] )
Hechos
La mayoría de las construcciones que se pueden realizar en también se puede realizar en realizándolos "por componentes", por separado para cada objeto en . Por ejemplo, si dos objetos y en tener un producto , luego dos functores cualesquiera y en tener un producto , definido por para cada objeto en . Del mismo modo, si es una transformación natural y cada tiene un kernel en la categoria , luego el núcleo de en la categoría de functor es el functor con para cada objeto en .
Como consecuencia, tenemos la regla general de que la categoría de functor comparte la mayoría de las propiedades "agradables" de :
- Si está completo (o cocompleto), entonces también lo es;
- Si es una categoría abeliana , entonces también lo es;
También tenemos:
- Si es cualquier categoría pequeña, entonces la categoría de presheaves es un topos .
Entonces, de los ejemplos anteriores, podemos concluir de inmediato que las categorías de gráficos dirigidos, -los conjuntos y pretensiones en un espacio topológico son todos topoi completos y cocompletos, y que las categorías de representaciones de , módulos sobre el anillo y pre-oleadas de grupos abelianos en un espacio topológico son todos abelianos, completos y cocompletos.
La incrustación de la categoría en una categoría de functor que se mencionó anteriormente utiliza el lema de Yoneda como su herramienta principal. Para cada objeto de , dejar ser el functor representable contravariante de a . El lema de Yoneda establece que la asignación
es una integración completa de la categoría en la categoría Funct (,). Entonces naturalmente se sienta dentro de un topos.
Lo mismo se puede realizar para cualquier categoría preaditiva. : Yoneda luego produce una integración completa de en la categoría de functor Agregar (,). Entonces naturalmente, se encuentra dentro de una categoría abeliana.
La intuición mencionada anteriormente (que las construcciones que se pueden realizar en puede ser "elevado" a ) se puede precisar de varias formas; la formulación más sucinta utiliza el lenguaje de los functores adjuntos . Cada functor induce un functor (por composición con ). Si y es un par de functores adjuntos, entonces y es también un par de functores adjuntos.
La categoría de functor tiene todas las propiedades formales de un objeto exponencial ; en particular los functores de mantener una correspondencia natural uno a uno con los functores de a . La categoríade todas las categorías pequeñas con functores como morfismos es, por tanto, una categoría cerrada cartesiana .
Ver también
Referencias
- ^ Tom Leinster (2004). Operads superiores, categorías superiores . Prensa de la Universidad de Cambridge. Bibcode : 2004hohc.book ..... L . Archivado desde el original el 25 de octubre de 2003.