En geometría , la cónica de nueve puntos de un cuadrilátero completo es una cónica que pasa por los tres puntos diagonales y los seis puntos medios de los lados del cuadrilátero completo.
La cónica de nueve puntos fue descrita por Maxime Bôcher en 1892. El círculo de nueve puntos más conocido es un ejemplo de la cónica de Bôcher. La hipérbola de nueve puntos es otro ejemplo.
Bôcher usó los cuatro puntos del cuadrilátero completo como tres vértices de un triángulo con un punto independiente:
- Dado un triángulo ABC y un punto P en su plano, se puede dibujar una cónica a través de los siguientes nueve puntos:
- los puntos medios de los lados de ABC ,
- los puntos medios de las rectas que unen P a los vértices, y
- los puntos donde estas últimas líneas nombradas cortan los lados del triángulo.
La cónica es una elipse si P se encuentra en el interior de ABC o en una de las regiones del plano separadas del interior por dos lados del triángulo, de lo contrario la cónica es una hipérbola . Bôcher observa que cuando P es el ortocentro , se obtiene el círculo de nueve puntos, y cuando P está en el círculo circunscrito de ABC , entonces la cónica es una hipérbola equilátera.
En 1912, Maud Minthorn demostró que la cónica de nueve puntos es el lugar geométrico del centro de una cónica a través de cuatro puntos dados.
Referencias
- Maxime Bôcher (1892) Cónica de nueve puntos , Annals of Mathematics , enlace de Jstor .
- Fanny Gates (1894) Algunas consideraciones sobre la cónica de nueve puntos y su reciprocidad , Annals of Mathematics 8 (6): 185–8, enlace de Jstor.
- Maud A. Minthorn (1912) The Nine Point Conic , disertación de maestría en la Universidad de California, Berkeley , enlace de HathiTrust .
- Eric W. Weisstein Cónica de nueve puntos de MathWorld .
- Michael DeVilliers (2006) La cónica de nueve puntos: un redescubrimiento y una prueba por computadora de la Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología , una publicación de Taylor & Francis .
- Christopher Bradley La cónica de nueve puntos y un par de líneas paralelas de la Universidad de Bath .
Otras lecturas
- WG Fraser (1906) "Sobre las relaciones de ciertas cónicas con un triángulo", Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo 25: 38–41.
- Thomas F. Hogate (1894) Sobre el cono de segundo orden que es análogo a la cónica de nueve puntos , Annals of Mathematics 7: 73–6.
- P. Pinkerton (1905) "En una cónica de nueve puntos, etc.", Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo 24: 31-3.