En geometría , el círculo de nueve puntos es un círculo que se puede construir para cualquier triángulo dado . Se llama así porque pasa por nueve puntos concíclicos significativos definidos a partir del triángulo. Estos nueve puntos son:
- El punto medio de cada lado del triángulo.
- El pie de cada altitud
- El punto medio del segmento de línea desde cada vértice del triángulo hasta el ortocentro (donde se encuentran las tres altitudes; estos segmentos de línea se encuentran en sus respectivas altitudes). [1] [2]
El círculo de nueve puntos también se conoce como el círculo de Feuerbach , círculo de Euler , de Terquem círculo , el círculo de seis puntos , los doce puntos de círculo , el n círculo -point , el círculo medioscribed , el círculo mediados o la circum-midcircle . Su centro es el centro de nueve puntos del triángulo. [3] [4]
Nueve puntos significativos
El diagrama de arriba muestra los nueve puntos significativos del círculo de nueve puntos. Los puntos D , E y F son los puntos medios de los tres lados del triángulo. Los puntos G , H e I son los pies de las altitudes del triángulo. Los puntos J , K y L son los puntos medios de los segmentos de línea entre la intersección del vértice de cada altitud (puntos A , B y C ) y el ortocentro del triángulo (punto S ).
Para un triángulo agudo , seis de los puntos (los puntos medios y los pies de altitud) se encuentran en el triángulo mismo; para un triángulo obtuso, dos de las altitudes tienen pies fuera del triángulo, pero estos pies todavía pertenecen al círculo de nueve puntos.
Descubrimiento
Aunque se le atribuye su descubrimiento, Karl Wilhelm Feuerbach no descubrió por completo el círculo de nueve puntos, sino más bien el círculo de seis puntos, reconociendo el significado de los puntos medios de los tres lados del triángulo y los pies de las altitudes de ese triángulo. triángulo. ( Ver Fig.1, puntos D, E, F, G, H e I.) (En una fecha ligeramente anterior, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet habían establecido y probado el mismo teorema). Pero poco después de Feuerbach, el matemático El propio Olry Terquem demostró la existencia del círculo. Fue el primero en reconocer el significado agregado de los tres puntos medios entre los vértices del triángulo y el ortocentro. ( Ver Fig. 1, puntos J, K y L.) Por lo tanto, Terquem fue el primero en usar el nombre de círculo de nueve puntos.
Círculos tangentes
En 1822 Karl Feuerbach descubrió que el círculo de nueve puntos de cualquier triángulo es externamente tangente a los tres excircuitos de ese triángulo e internamente tangente a su incírculo ; este resultado se conoce como teorema de Feuerbach . Demostró que:
- ... el círculo que pasa por los pies de las alturas de un triángulo es tangente a los cuatro círculos que a su vez son tangentes a los tres lados del triángulo ... ( Feuerbach 1822 )
El centro del triángulo en el que se tocan el círculo y el círculo de nueve puntos se llama punto de Feuerbach .
Otras propiedades del círculo de nueve puntos
- El radio de un triángulo de circunferencia circunscrita es dos veces el radio del círculo de nueve puntos de ese triángulo. [5] : pág.153
figura 3
- Un círculo de nueve puntos biseca un segmento de línea que va desde el ortocentro del triángulo correspondiente a cualquier punto de su circunferencia.
Figura 4
- El centro N del círculo de nueve puntos biseca un segmento desde el ortocentro H hasta el circuncentro O (haciendo del ortocentro un centro de dilatación para ambos círculos): [5] : p.152
- ENCENDIDO = NH .
- El centro de nueve puntos N es un cuarto del camino a lo largo de la línea de Euler desde el centroide G hasta el ortocentro H : [5] : p.153
- HN = 3 NG .
- Dejar ser el círculo de nueve puntos del triángulo diagonal de un cuadrilátero cíclico. El punto de intersección de los bimedianos del cuadrilátero cíclico pertenece al círculo de nueve puntos. [6] [7]
- El círculo de nueve puntos de un triángulo de referencia es la circunferencia tanto del triángulo medial del triángulo de referencia (con vértices en los puntos medios de los lados del triángulo de referencia) como de su triángulo órtico (con vértices a los pies de las altitudes del triángulo de referencia). [5] : pág.153
- El centro de todas las hipérbolas rectangulares que pasan por los vértices de un triángulo se encuentra en su círculo de nueve puntos. Los ejemplos incluyen las conocidas hipérbolas rectangulares de Keipert, Jeřábek y Feuerbach. Este hecho se conoce como teorema cónico de Feuerbach.
- Si se da un sistema ortocéntrico de cuatro puntos A , B , C y H , entonces los cuatro triángulos formados por cualquier combinación de tres puntos distintos de ese sistema comparten el mismo círculo de nueve puntos. Esto es una consecuencia de la simetría: los lados de un triángulo adyacente a un vértice que es un ortocentro de otro triángulo son segmentos de ese segundo triángulo. Un tercer punto medio se encuentra en su lado común. (Los mismos 'puntos medios' que definen círculos separados de nueve puntos, esos círculos deben ser concurrentes).
- En consecuencia, estos cuatro triángulos tienen circunferencias con radios idénticos. Sea N el centro común de nueve puntos y P un punto arbitrario en el plano del sistema ortocéntrico. Luego
- NA 2 + NB 2 + NC 2 + NH 2 = 3R 2
- donde R es el circunradio común ; y si
- PA 2 + PB 2 + PC 2 + PH 2 = K 2 ,
- donde K se mantiene constante, entonces el lugar geométrico de P es un círculo centrado en N con un radio . Cuando P se acerca a N, el lugar geométrico de P para la constante correspondiente K , colapsa sobre N, el centro de nueve puntos. Además, el círculo de nueve puntos es el lugar geométrico de P tal que
- PA 2 + PB 2 + PC 2 + PH 2 = 4R 2 .
- Los centros del círculo y los círculos de un triángulo forman un sistema ortocéntrico. El círculo de nueve puntos creado para ese sistema ortocéntrico es el círculo circunferencial del triángulo original. Los pies de las altitudes en el sistema ortocéntrico son los vértices del triángulo original.
- Si se dan cuatro puntos arbitrarios A , B , C , D que no forman un sistema ortocéntrico, entonces los círculos de nueve puntos de ABC , BCD , CDA y DAB coinciden en un punto. Los seis puntos de intersección restantes de estos círculos de nueve puntos coinciden cada uno con los puntos medios de los cuatro triángulos. Sorprendentemente, existe una cónica única de nueve puntos, centrada en el centroide de estos cuatro puntos arbitrarios, que pasa por los siete puntos de intersección de estos círculos de nueve puntos. Además, debido al teorema cónico de Feuerbach mencionado anteriormente, existe una circuncónica rectangular única , centrada en el punto de intersección común de los cuatro círculos de nueve puntos, que pasa a través de los cuatro puntos arbitrarios originales, así como los ortocentros de los cuatro triángulos.
- Si se dan cuatro puntos A , B , C , D que forman un cuadrilátero cíclico , entonces los círculos de nueve puntos de ABC , BCD , CDA y DAB concurren en el anticentro del cuadrilátero cíclico. Los círculos de nueve puntos son todos congruentes con un radio de la mitad del de la circunferencia del cuadrilátero cíclico. Los círculos de nueve puntos forman un conjunto de cuatro círculos de Johnson . En consecuencia, los cuatro centros de nueve puntos son cíclicos y se encuentran en un círculo congruente con los cuatro círculos de nueve puntos que están centrados en el anticentro del cuadrilátero cíclico. Además, el cuadrilátero cíclico formado a partir de los cuatro centros de nueve Pont se homotética a la referencia cíclico cuadrilátero ABCD por un factor de - 1 / 2 y su centro de homotecia (N) se encuentra en la línea que conecta el circuncentro (O) a la anticentro ( M) donde
- ENCENDIDO = 2NM .
- El ortopolo de líneas que atraviesa el circuncentro se encuentra en el círculo de nueve puntos.
- La circunferencia de un triángulo, su círculo de nueve puntos, su círculo polar y la circunferencia de su triángulo tangencial [8] son coaxiales . [9]
- Las coordenadas trilineales para el centro de la hipérbola de Kiepert son
- ( b 2 - c 2 ) 2 / a : ( c 2 - a 2 ) 2 / b : ( a 2 - b 2 ) 2 / c
- Las coordenadas trilineales para el centro de la hipérbola de Jeřábek son
- cos A sin 2 ( B - C ): cos B sin 2 ( C - A ): cos C sin 2 ( A - B )
- Dejando que x : y : z sea un punto variable en coordenadas trilineales, una ecuación para el círculo de nueve puntos es
- x 2 sin 2A + y 2 sin 2 B + z 2 sin 2 C - 2 ( y z sin A + zx sin B + xy sin C ) = 0.
Generalización
El círculo es una instancia de una sección cónica y el círculo de nueve puntos es una instancia de la cónica general de nueve puntos que se ha construido con relación a un triángulo ABC y un cuarto punto P , donde surge la instancia particular del círculo de nueve puntos. cuando P es el ortocentro de ABC . Los vértices del triángulo y P determinan un cuadrilátero completo y tres "puntos diagonales" donde los lados opuestos del cuadrilátero se cruzan. Hay seis "líneas laterales" en el cuadrilátero; la cónica de nueve puntos corta los puntos medios de estos y también incluye los puntos diagonales. La cónica es una elipse cuando P es interior a ABC o en una región que comparte ángulos verticales con el triángulo, pero se produce una hipérbola de nueve puntos cuando P está en una de las tres regiones adyacentes, y la hipérbola es rectangular cuando P está en el circuncírculo de ABC .
Ver también
- Teorema de lester
- Punto de Pon
- Geometría sintética
Notas
- ^ Altshiller-Court (1925 , págs. 103-110)
- ^ Kay (1969 , págs. 18, 245)
- ^ Kocik, Jerzy; Solecki, Andrzej (2009). "Desenredar un triángulo" . Amer. Matemáticas. Mensual . 116 (3): 228–237. doi : 10.4169 / 193009709x470065 .Kocik y Solecki (participantes de un premio Lester R. Ford 2010 ) dan una prueba del teorema del círculo de nueve puntos.
- ^ Casey, John (1886).Teorema del círculo de nueve puntos, en una secuela de los primeros seis libros de Euclides (4ª ed.). Londres: Longmans, Green, & Co. p. 58.
- ↑ a b c d Posamentier, Alfred S. y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012.
- ^ Fraivert, David (julio de 2019). "Nuevos puntos que pertenecen al círculo de nueve puntos". La Gaceta Matemática . 103 (557): 222–232. doi : 10.1017 / mag.2019.53 .
- ^ Fraivert, David (2018). "Nuevas aplicaciones del método de números complejos en la geometría de cuadriláteros cíclicos" (PDF) . Revista Internacional de Geometría . 7 (1): 5–16.
- ↑ Altshiller-Court (1925 , p. 98)
- ↑ Altshiller-Court (1925 , p. 241)
Referencias
- Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2a ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN 52013504
- Feuerbach, Karl Wilhelm ; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (edición de monografía), Núremberg: Wiessner.
- Kay, David C. (1969), College Geometry , Nueva York: Holt, Rinehart y Winston , LCCN 69012075
- Fraivert, David (2019), "Nuevos puntos que pertenecen al círculo de nueve puntos", The Mathematical Gazette , 103 (557): 222–232, doi : 10.1017 / mag.2019.53
- Fraivert, David (2018), "Nuevas aplicaciones del método de números complejos en la geometría de cuadriláteros cíclicos" (PDF) , International Journal of Geometry , 7 (1): 5–16
enlaces externos
- "Una demostración de JavaScript del círculo de nueve puntos" en rykap.com
- Enciclopedia de centros de triángulos por Clark Kimberling. El centro de nueve puntos está indexado como X (5), el punto de Feuerbach, como X (11), el centro de la hipérbola de Kiepert como X (115) y el centro de la hipérbola de Jeřábek como X (125).
- Historia sobre el círculo de nueve puntos basada en el artículo de JS MacKay de 1892: Historia del círculo de nueve puntos
- Weisstein, Eric W. "Círculo de nueve puntos" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Orthopole" . MathWorld .
- Círculo de nueve puntos en Java en cut-the-knot
- Teorema de Feuerbach: una prueba al cortar el nudo
- Líneas y círculos especiales en un triángulo por Walter Fendt
- Un subprograma interactivo de Java que muestra varios centros de triángulos que se encuentran en el círculo de nueve puntos .
- Subprograma interactivo del círculo de nueve puntos del Proyecto de demostraciones de Wolfram
- Cónica de nueve puntos y generalización de la línea de Euler en los bocetos de geometría dinámica Generaliza un círculo de nueve puntos a una cónica de nueve puntos con una generalización asociada de la línea de Euler.