En geometría plana con triángulo ABC , la hipérbola de nueve puntos es una instancia de la cónica de nueve puntos descrita por Maxime Bôcher en 1892. El célebre círculo de nueve puntos es una instancia separada de la cónica de Bôcher:
- Dado un triángulo ABC y un punto P en su plano, se puede dibujar una cónica a través de los siguientes nueve puntos:
- los puntos medios de los lados de ABC ,
- los puntos medios de las rectas que unen P a los vértices, y
- los puntos donde estas últimas líneas nombradas cortan los lados del triángulo.
La cónica es una elipse si P se encuentra en el interior de ABC o en una de las regiones del plano separadas del interior por dos lados del triángulo; de lo contrario, la cónica es una hipérbola . Bôcher observa que cuando P es el ortocentro , se obtiene el círculo de nueve puntos, y cuando P está en el círculo circunscrito de ABC , entonces la cónica es una hipérbola equilátera.
Allen
EF Allen ideó una aproximación a la hipérbola de nueve puntos usando la geometría analítica de números complejos divididos en 1941. [1] Escribiendo z = a + b j, j 2 = 1, usa aritmética compleja dividida para expresar a hipérbola como
Se usa como la circuncónica del triángulo. Dejar Entonces la cónica de nueve puntos es
La descripción de Allen de la hipérbola de nueve puntos siguió un desarrollo del círculo de nueve puntos que Frank Morley y su hijo publicaron en 1933. Ellos requisaron el círculo unitario en el plano complejo como la circunferencia del triángulo dado.
En 1953 Allen amplió su estudio a una cónica de nueve puntos de un triángulo inscrito en cualquier cónica central. [2]
Yaglom
Para Yaglom, una hipérbola es un círculo de Minkowski como en el plano de Minkowski . La descripción de Yaglom de esta geometría se encuentra en el capítulo "Conclusión" de un libro que inicialmente trata sobre la geometría galilea. [3] Considera un triángulo inscrito en un "circuncírculo" que de hecho es una hipérbola. En el plano de Minkowski, la hipérbola de nueve puntos también se describe como un círculo:
- ... los puntos medios de los lados de un triángulo ABC y los pies de sus altitudes (así como los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro de △ ABC con sus vértices) se encuentran en un círculo [Minkowskiano] S cuyo radio es la mitad del radio de la circunferencia del triángulo. Es natural referirse a S como el círculo de seis (nueve) puntos del triángulo (Minkowskiano) ABC; si el triángulo ABC tiene un círculo s , entonces el círculo de seis (nueve) puntos S de △ ABC toca su círculo s (figura 173).
Otros
En 2005, JA Scott [4] usó la hipérbola unitaria como la circuncónica del triángulo ABC y encontró condiciones para que incluyera seis centros de triángulo: el centroide X (2), el ortocentro X (4), los puntos de Fermat X (13) y X (14) y los puntos de Napoleón X (17) y X (18) enumerados en la Enciclopedia de centros triangulares . La hipérbola de Scott es una hipérbola de Kiepert del triángulo.
Christopher Bath [5] describe una hipérbola rectangular de nueve puntos que pasa por estos centros: el incentro X (1), los tres excitantes , el centroide X (2), el punto de Longchamps X (20) y los tres puntos obtenidos al extender las medianas del triángulo al doble de su longitud ceviana .
Referencias
- ^ Allen, EF (1941) "En un triángulo inscrito en una hipérbola rectangular", American Mathematical Monthly 48, No 10 págs. 675-681
- ^ EF Allen (1953) "Una geometría inversa extendida", American Mathematical Monthly 60 (4): 233–7
- ^ Isaak Yaglom (1979) Una geometría no euclidiana simple y su base física , página 193
- ^ JA Scott (2005) "Una hipérbola de nueve puntos", The Mathematical Gazette 89: 93-6 (# 514)
- ^ Christopher Bath (2010) Una hipérbola rectangular de nueve puntos
- Maxime Bôcher (1892) Cónica de nueve puntos , Annals of Mathematics , enlace de Jstor .
- Maud A. Minthorn (1912) The Nine Point Conic , disertación de maestría en la Universidad de California, Berkeley , enlace de HathiTrust . Maude Ellen Minthorn, nacida en 1883, LeMars, Iowa, fallecida en 1966, St. Petersburg, Florida. Dau. de Pennington Minthorn, 1856-1939, (hermano de Hulda Minthorn Hoover, madre del presidente Herbert Hoover) y Anna Mary Heald, 1887-1940, (hermana de Franklin Herman Heald, fundador de Lake Elsinore, California (WRH) Maud Minthorn también enseñado en Fresno, Cal, High School 1935-1940
- Bjørn Felsager (2004) Geometría de Minkowski, Parte 1 , Geometría de Minkowski, Parte 2 ICME-10 Copenhague.