En matemáticas , el teorema de Niven , llamado así por Ivan Niven , establece que los únicos valores racionales de θ en el intervalo 0 ° ≤ θ ≤ 90 ° para el cual el seno de θ grados también es un número racional son: [1]
En radianes , se requeriría que 0 ≤ x ≤ π / 2, que x / π sea racional y que sen x sea racional. La conclusión es entonces que los únicos valores de este tipo son sin 0 = 0, sin π / 6 = 1/2 y sin π / 2 = 1.
El teorema aparece como Corolario 3.12 en el libro de Niven sobre números irracionales . [2]
El teorema se extiende también a las otras funciones trigonométricas . [2] Para valores racionales de θ, los únicos valores racionales del seno o coseno son 0, ± 1/2 y ± 1; los únicos valores racionales de la secante o cosecante son ± 1 y ± 2; y los únicos valores racionales de la tangente o cotangente son 0 y ± 1. [3]
Ver también
- Las triples pitagóricas forman triángulos rectángulos donde las funciones trigonométricas siempre tomarán valores racionales, aunque los ángulos agudos no son racionales
- Funciones trigonométricas
- Número trigonométrico
Referencias
- ^ Schaumberger, Norman (1974). "Un teorema de aula sobre irracionalidades trigonométricas". Revista de matemáticas universitaria de dos años . 5 (1): 73–76. doi : 10.2307 / 3026991 . JSTOR 3026991 .
- ^ a b Niven, Ivan (1956). Números irracionales . Las monografías matemáticas de Carus . La Asociación Matemática de América . pag. 41 . Señor 0080123 .
- ^ Una prueba para el caso del coseno aparece como Lema 12 en Bennett, Curtis D .; Vidrio, AMW; Székely, Gábor J. (2004). "Último teorema de Fermat para exponentes racionales". American Mathematical Monthly . 111 (4): 322–329. doi : 10.2307 / 4145241 . JSTOR 4145241 . Señor 2057186 .
Otras lecturas
- Olmsted, JMH (1945). "Valores racionales de funciones trigonométricas". The American Mathematical Monthly . 52 (9): 507–508. JSTOR 2304540 .
- Lehmer, Derik H. (1933). "Una nota sobre números algebraicos trigonométricos". The American Mathematical Monthly . 40 (3): 165-166. doi : 10.2307 / 2301023 . JSTOR 2301023 .
- Jahnel, Jörg (2010). "¿Cuándo es el (co) seno de un ángulo racional igual a un número racional?". arXiv : 1006.2938 [ matemáticas.HO ].
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Niven" . MathWorld .
- Teorema de Niven en ProofWiki