Un triple pitagórico consta de tres números enteros positivos a , b y c , de modo que a 2 + b 2 = c 2 . Tal triple se escribe comúnmente ( a , b , c ) , y un ejemplo bien conocido es (3, 4, 5) . Si ( a , b , c ) es un triple pitagórico, entonces también lo es ( ka , kb , kc ) para cualquier entero positivok . A Pitágoras primitiva de triple es uno en el que una , b y c son primos entre sí (es decir, no tienen ningún divisor común mayor que 1). [1] Un triángulo cuyos lados forman un triple pitagórico se llama triángulo pitagórico y es necesariamente un triángulo rectángulo .
El nombre se deriva del teorema de Pitágoras , que establece que cada triángulo rectángulo tiene longitudes de lados que satisfacen la fórmula a 2 + b 2 = c 2 ; así, los triples pitagóricos describen las tres longitudes de los lados enteros de un triángulo rectángulo. Sin embargo, los triángulos rectángulos con lados no enteros no forman triples pitagóricos. Por ejemplo, el triángulo con lados a = b = 1 y c = √ 2 es un triángulo rectángulo, pero (1, 1, √ 2 ) no es un triple pitagórico porque √ 2 no es un número entero. Además, 1 y √ 2 no tienen un múltiplo común entero porque √ 2 es irracional .
Los triples pitagóricos se conocen desde la antigüedad. El registro más antiguo conocido proviene de Plimpton 322 , una tablilla de arcilla babilónica de aproximadamente 1800 a. C., escrita en un sistema numérico sexagesimal . Fue descubierto por Edgar James Banks poco después de 1900 y vendido a George Arthur Plimpton en 1922, por $ 10. [2]
Al buscar soluciones enteras, la ecuación a 2 + b 2 = c 2 es una ecuación diofántica . Así, los triples pitagóricos se encuentran entre las soluciones más antiguas conocidas de una ecuación diofántica no lineal .
Ejemplos de
Hay 16 triples pitagóricos primitivos de números hasta el 100:
(3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (8, 15, 17) | (7, 24, 25) |
(20, 21, 29) | (12, 35, 37) | (9, 40, 41) | (28, 45, 53) |
(11, 60, 61) | (16, 63, 65) | (33, 56, 65) | (48, 55, 73) |
(13, 84, 85) | (36, 77, 85) | (39, 80, 89) | (65, 72, 97) |
Cada uno de estos puntos forma una línea radiante en el diagrama de dispersión. Otras pequeñas tripletas pitagóricas como (6, 8, 10) no se enumeran porque no son primitivas; por ejemplo (6, 8, 10) es un múltiplo de (3, 4, 5).
Además, estos son los triples pitagóricos primitivos restantes de números hasta 300:
(20, 99, 101) | (60, 91, 109) | (15, 112, 113) | (44, 117, 125) |
(88, 105, 137) | (17, 144, 145) | (24, 143, 145) | (51, 140, 149) |
(85, 132, 157) | (119, 120, 169) | (52, 165, 173) | (19, 180, 181) |
(57, 176, 185) | (104, 153, 185) | (95, 168, 193) | (28, 195, 197) |
(84, 187, 205) | (133, 156, 205) | (21, 220, 221) | (140, 171, 221) |
(60, 221, 229) | (105, 208, 233) | (120, 209, 241) | (32, 255, 257) |
(23, 264, 265) | (96, 247, 265) | (69, 260, 269) | (115, 252, 277) |
(160, 231, 281) | (161, 240, 289) | (68, 285, 293) |
Generando un triple
Fórmula de Euclides [3] es una fórmula fundamental para la generación de triples pitagóricos dado un par arbitrario de los números enteros m y n con m > n > 0 . La fórmula establece que los enteros
forman un triple pitagórico. La triple generada por Euclides fórmula 's es primitivo si y sólo si m y n son primos entre sí y no ambos impares. Cuando ambos m y n son impar, entonces una , b , y c será aún, y la triple no será primitiva; Sin embargo, dividiendo un , b , y c por 2 se dió un triple primitiva cuando m y n son primos entre sí y ambos impares. [4]
Cada primitiva de triple surge (después del intercambio de un y b , si una es par) a partir de un único par de números coprimos m , n , uno de los cuales es par. De ello se deduce que hay infinitos triples pitagóricos primitivos. Esta relación de un , b y c a m y n de la fórmula de Euclides se hace referencia en todo el resto de este artículo.
A pesar de la generación de todos los triples primitivos, la fórmula de Euclides no produce todos los triples-por ejemplo, (9, 12, 15) no puede ser generada utilizando número entero m y n . Esto se puede remediar insertando un parámetro adicional k en la fórmula. Lo siguiente generará todos los triples pitagóricos de forma única:
donde m , n , y k son enteros positivos con m > n , y con m y n primos entre sí y no ambos impares.
Se puede verificar que estas fórmulas generan triples pitagóricos expandiendo a 2 + b 2 usando álgebra elemental y verificando que el resultado sea igual a c 2 . Puesto que cada Pitágoras de triple se puede dividir a través de algún entero k para obtener un triple primitiva, cada Triple se pueden generar de forma única mediante el uso de la fórmula con m y n para generar su contraparte primitiva y luego multiplicando a través de por k como en la última ecuación.
La elección de m y n de ciertas secuencias de números enteros da resultados interesantes. Por ejemplo, si m y n son consecutivos números de Pell , una y b diferirá por 1. [5]
Desde la época de Euclides se han desarrollado muchas fórmulas para generar triples con propiedades particulares.
Prueba de la fórmula de Euclides
Esa satisfacción de la fórmula de Euclides por a, b, c es suficiente para el triángulo a ser de Pitágoras se desprende del hecho de que para números enteros positivos m y n , m > n , la a, b, y c dada por la fórmula son todos positivos enteros, y del hecho de que
Una prueba de la necesidad de que a, b, c se expresen mediante la fórmula de Euclides para cualquier triple pitagórica primitiva es la siguiente. [6] Todos estos triples se pueden escribir como ( a , b , c ) donde a 2 + b 2 = c 2 y a , b , c son coprimos . Por lo tanto , a , b , c son coprimos por pares (si un número primo dividiera dos de ellos, también se vería obligado a dividir el tercero). Como un y b son primos entre sí, al menos uno de ellos es extraño, por lo que podemos suponer que una es impar, mediante el intercambio, si es necesario, una y b . Esto implica que b es par yc es impar (si b fuera impar, c sería par y c 2 sería múltiplo de 4, mientras que a 2 + b 2 sería congruente con 2 módulo 4, ya que un cuadrado impar es congruente con 1 módulo 4).
De obtenemos y por lo tanto . Luego. Desde es racional, lo ponemos igual a en los términos más bajos. Por lo tanto, siendo el recíproco de . Entonces resolviendo
por y da
Como está totalmente reducido, m y n son primos entre sí, y no puede ser tanto incluso. Si ambos fueran impares, el numerador desería un múltiplo de 4 (porque un cuadrado impar es congruente con 1 módulo 4), y el denominador 2 mn no sería un múltiplo de 4. Dado que 4 sería el factor par mínimo posible en el numerador y 2 sería el máximo posible factor par en el denominador, esto implicaría que un sea par a pesar de definirlo como impar. Así, uno de m y n es impar y el otro es par, y los numeradores de las dos fracciones con denominador 2 mn son impares. Por lo tanto estas fracciones están totalmente reducidas (un primo impar dividiendo este denominador divide una de m y n pero no el otro, por lo que no divide m 2 ± n 2 ). Por tanto, uno puede equiparar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores, dando la fórmula de Euclides
- con m y n primos entre sí y de las paridades opuestas.
Maor (2007) [7] y Sierpiński (2003) ofrecen una prueba más extensa pero más común . [8] Otra prueba se da en la ecuación diofántica § Ejemplo de triples pitagóricas , como ejemplo de un método general que se aplica a toda ecuación diofántica homogénea de grado dos.
Interpretación de parámetros en la fórmula de Euclides
Suponga que los lados de un triángulo pitagórico tienen longitudes m 2 - n 2 , 2 mn y m 2 + n 2 , y suponga que el ángulo entre el cateto de longitud m 2 - n 2 y la hipotenusa de longitud m 2 + n 2 es denotado como β . Luego y los valores trigonométricos de ángulo completo son , , y . [9]
Una variante
La siguiente variante de la fórmula de Euclides veces es más conveniente, como más simétrica en m y n (la misma condición de paridad en m y n ).
Si m y n son dos enteros impares tal que m > n , entonces
son tres enteros que forman una de Pitágoras triple, que es primitivo si y sólo si m y n son primos entre sí. Por el contrario, cada Pitágoras primitiva surge triple (después del intercambio de un y b , si una es par) desde un par único m > n > 0 de coprimos enteros impares.
Propiedades elementales de las triples pitagóricas primitivas
Propiedades generales
Las propiedades de un triple pitagórico primitivo ( a , b , c ) con a < b < c (sin especificar cuál de a o b es par y cuál impar) incluyen:
- es siempre un cuadrado perfecto. [10] Como es solo una condición necesaria pero no suficiente, se puede usar para verificar si un triple dado de números no es un triple pitagórico cuando fallan en la prueba. Por ejemplo, el triple {6, 12, 18} pasa la prueba de que ( c - a ) ( c - b ) / 2 es un cuadrado perfecto, pero no es un triple pitagórico.
- Cuando un triple de números a , b y c formas una primitiva de Pitágoras triples, a continuación, ( c menos la pierna incluso) y la mitad de ( c menos la pierna impar) son ambos cuadrados perfectos; sin embargo, esta no es una condición suficiente, ya que los números {1, 8, 9} pasan la prueba de cuadrados perfectos pero no son un triple pitagórico ya que 1 2 + 8 2 ≠ 9 2 .
- A lo sumo, uno de a , b , c es un cuadrado. [11]
- El área de un triángulo pitagórico no puede ser el cuadrado [12] : p. 17 o dos veces el cuadrado [12] : pág. 21 de un número natural.
- Exactamente uno de a , b es impar ; c es extraño. [13]
- Exactamente uno de a , b es divisible por 3. [8] : 23-25
- Exactamente uno de a , b es divisible por 4. [8]
- Exactamente uno de a , b , c es divisible por 5. [8]
- El número más grande que siempre divide abc es 60. [14]
- Cualquier número impar de la forma 2 m +1 , donde m es un número entero y m > 1 , puede ser el cateto impar de un triple pitagórico primitivo [PPT]. Consulte la sección PPT casi isósceles a continuación. Sin embargo, solo los números pares divisibles por 4 pueden ser el tramo par de un PPT. Esto se debe a que la fórmula de Euclides para el cateto par dada anteriormente es 2 mn y uno de m o n debe ser par.
- La hipotenusa c es la suma de dos cuadrados. Esto requiere que todos sus factores primos sean primos de la forma 4 n + 1 . [15] Por tanto, c es de la forma 4 n + 1 . Se puede encontrar una secuencia de posibles números de hipotenusa para un PPT en (secuencia A008846 en la OEIS ).
- El área ( K = ab / 2) es un número congruente [16] divisible por 6.
- En todo triángulo pitagórico, el radio del círculo y los radios de los tres círculos son números naturales. Específicamente, para un triple primitivo, el radio del círculo es r = n ( m - n ) , y los radios de los círculos opuestos a los lados m 2 - n 2 , 2mn , y la hipotenusa m 2 + n 2 son respectivamente m ( m - n ) , n ( m + n ) y m ( m + n ) . [17]
- En cuanto a cualquier triángulo rectángulo, el inverso del teorema de Tales dice que el diámetro del círculo circunferencial es igual a la hipotenusa; por tanto, para triples primitivas la circumdiameter es m 2 + n 2 , y la circunferencia circunscrita es la mitad de este y por lo tanto es racional pero no entero (ya que m y n tienen paridad opuesta).
- Cuando el área de un triángulo de Pitágoras se multiplica por las curvaturas de su círculo y 3 círculos, el resultado es cuatro números enteros positivos w > x > y > z , respectivamente. Los enteros : w , x , y , z satisfacen la ecuación circular de Descartes . [18] De manera equivalente, el radio del círculo exterior de Soddy de cualquier triángulo rectángulo es igual a su semiperímetro. El centro exterior de Soddy está ubicado en D , donde ACBD es un rectángulo, ACB el triángulo rectángulo y AB su hipotenusa. [18] : pág. 6
- Solo dos lados de un triple pitagórico primitivo pueden ser primos simultáneamente porque según la fórmula de Euclides para generar un triple pitagórico primitivo, uno de los lados debe ser compuesto y uniforme. [19] Sin embargo, solo un lado puede ser un número entero de potencia perfecta. porque si dos lados fueran enteros de potencias perfectas con igual exponente contradeciría el hecho de que no hay soluciones enteras para la ecuación diofántica , con , y siendo coprime por parejas. [20]
- No hay triángulos pitagóricos en los que la hipotenusa y un cateto sean catetos de otro triángulo pitagórico; esta es una de las formas equivalentes del teorema del triángulo rectángulo de Fermat . [12] : pág. 14
- Cada triángulo pitagórico primitivo tiene una relación entre el área, K , y el semiperímetro al cuadrado , s , que es única en sí mismo y viene dada por [21]
- Ningún triángulo pitagórico primitivo tiene una altitud entera de la hipotenusa; es decir, todo triángulo pitagórico primitivo es indescomponible. [22]
- El conjunto de todas las tripletas pitagóricas primitivas forma un árbol ternario enraizado de forma natural; ver Árbol de las triples pitagóricas primitivas .
- Ninguno de los ángulos agudos de un triángulo pitagórico puede ser un número racional de grados . [23] (Esto se sigue del teorema de Niven ).
Casos especiales
Además, se puede garantizar la existencia de triples pitagóricos especiales con ciertas propiedades adicionales:
- Todo entero mayor que 2 que no sea congruente con 2 mod 4 (en otras palabras, todo entero mayor que 2 que no sea de la forma 4 k + 2 ) es parte de un triple pitagórico primitivo. (Si el número entero tiene la forma 4 k , uno puede tomar n = 1 y m = 2 k en la fórmula de Euclides; si el entero es 2 k + 1 , uno puede tomar n = k y m = k + 1 ).
- Todo entero mayor que 2 es parte de un triple pitagórico primitivo o no primitivo. Por ejemplo, los números enteros 6, 10, 14 y 18 no forman parte de los triples primitivos, sino que forman parte de los triples no primitivos (6, 8, 10) , (14, 48, 50) y (18, 80, 82) .
- Existen infinitos triples pitagóricos en los que la hipotenusa y el cateto más largo difieren exactamente en uno. Tales triples son necesariamente primitivos y tienen la forma (2 n + 1, 2 n 2 + 2 n , 2 n 2 + 2 n +1) . Esto resulta de la fórmula de Euclides al señalar que la condición implica que el triple es primitivo y debe verificar ( m 2 + n 2 ) - 2 mn = 1 . Esto implica ( m - n ) 2 = 1 , y por lo tanto m = n + 1 . La forma anterior de los triples resulta así de sustituir m por n + 1 en la fórmula de Euclides.
- Existen infinitos triples pitagóricos primitivos en los que la hipotenusa y el cateto más largo difieren exactamente en dos. Todos son primitivos y se obtienen poniendo n = 1 en la fórmula de Euclides. De manera más general, para cada entero k > 0, existen infinitas tripletas pitagóricas primitivas en las que la hipotenusa y el cateto impar difieren en 2 k 2 . Se obtienen poniendo n = k en la fórmula de Euclides.
- Existen infinitos triples pitagóricos en los que los dos catetos difieren exactamente en uno. Por ejemplo, 20 2 + 21 2 = 29 2 ; Estos son generados por la fórmula de Euclides cuandoes convergente a √ 2 .
- Para cada número natural k , existen k triples pitagóricos con diferentes hipotenusas y la misma área.
- Para cada número natural k , existen al menos k diferentes triples pitagóricas primitivos con el mismo cateto a , donde a es algún número natural (la longitud del cateto par es 2 mn , y basta con elegir a con muchas factorizaciones, por ejemplo a = 4 b , donde b es un producto de k primos impares diferentes; esto produce al menos 2 k triples primitivos diferentes). [8] : 30
- Para cada número natural n , existen al menos n triples pitagóricos diferentes con la misma hipotenusa. [8] : 31
- Existen infinitas triples pitagóricas con números cuadrados tanto para la hipotenusa c como para la suma de los catetos a + b . Según Fermat, el triple más pequeño [24] tiene lados a = 4.565.486.027.761; b = 1.061.652.293.520; y c = 4.687.298.610.289. Aquí un + b = 2372159 2 y c = 2165017 2 . Esto se genera mediante la fórmula de Euclides con valores de parámetro m = 2,150,905 yn = 246,792.
- Existen triángulos pitagóricos no primitivos con altitud entera de la hipotenusa . [25] [26] Tales triángulos pitagóricos se conocen como descomponibles ya que pueden dividirse a lo largo de esta altitud en dos triángulos pitagóricos separados y más pequeños. [22]
Geometría de la fórmula de Euclides
Puntos racionales en un círculo unitario
Fórmula de euclides para un triple pitagórico
puede entenderse en términos de la geometría de puntos racionales en el círculo unitario ( Trautman 1998 ).
De hecho, un punto en el plano cartesiano con coordenadas ( x , y ) pertenece al círculo unitario si x 2 + y 2 = 1 . El punto es racional si x y y son números racionales , es decir, si hay números primos entre sí a , b , c de tal manera que
Al multiplicar ambos miembros por c 2 , se puede ver que los puntos racionales en el círculo están en correspondencia uno a uno con las triples pitagóricas primitivas.
El círculo unitario también puede definirse mediante una ecuación paramétrica
La fórmula de Euclides para las triples pitagóricas significa que, a excepción de (-1, 0) , un punto en el círculo es racional si y solo si el valor correspondiente de t es un número racional.
Enfoque estereográfico
Existe una correspondencia entre los puntos del círculo unitario con coordenadas racionales y triples pitagóricas primitivos. En este punto, las fórmulas de Euclides pueden derivarse por métodos de trigonometría o de manera equivalente usando la proyección estereográfica .
Para el enfoque estereográfico, suponga que P ′ es un punto en el eje x con coordenadas racionales
Entonces, se puede demostrar mediante álgebra básica que el punto P tiene coordenadas
Esto establece que cada punto racional del eje x pasa a un punto racional del círculo unitario. Lo contrario, que todo punto racional del círculo unitario proviene de tal punto del eje x , se sigue aplicando la proyección estereográfica inversa. Supongamos que P ( x , y ) es un punto de la circunferencia unidad con x y Y números racionales. Entonces el punto P ′ obtenido por proyección estereográfica sobre el eje x tiene coordenadas
que es racional.
En términos de geometría algebraica , la variedad algebraica de puntos racionales en el círculo unitario es biracional a la línea afín sobre los números racionales. Por tanto, el círculo unitario se denomina curva racional , y es este hecho el que permite una parametrización explícita de los puntos (números racionales) en él mediante funciones racionales.
Triángulos pitagóricos en una celosía 2D
A 2D celosía es una matriz regular de puntos aislados donde si se elige un punto cualquiera como el origen cartesiano (0, 0), entonces todos los otros puntos están en ( x , Y ) donde x y y rango de más de todos los números enteros positivos y negativos . Cualquier triángulo pitagórico con triple ( a , b , c ) se puede dibujar dentro de una celosía 2D con vértices en las coordenadas (0, 0), ( a , 0) y (0, b ). El recuento de puntos de celosía que se encuentran estrictamente dentro de los límites del triángulo viene dado por [27] para triples pitagóricos primitivos, este recuento de celosía interior es El área (según el teorema de Pick es igual a uno menos que el recuento del retículo interior más la mitad del recuento del retículo del límite) es igual a .
La primera aparición de dos triples pitagóricos primitivos que comparten la misma área ocurre con triángulos con lados (20, 21, 29), (12, 35, 37) y área común 210 (secuencia A093536 en la OEIS ). La primera aparición de dos triples pitagóricos primitivos que comparten el mismo recuento de celosía interior ocurre con (18108, 252685, 253333), (28077, 162964, 165365) y el recuento de celosía interior 2287674594 (secuencia A225760 en la OEIS ). Se han encontrado tres triples pitagóricos primitivos que comparten la misma área: (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19019, 19069) con el área 13123110. Hasta ahora, ningún conjunto de tres triples pitagóricos primitivos se ha encontrado se ha encontrado compartiendo el mismo recuento de celosía interior.
Enumeración de triples pitagóricos primitivos
Por la fórmula de Euclides, todas las triples pitagóricas primitivas se pueden generar a partir de números enteros y con , extraño y . Por lo tanto, hay un mapeo 1 a 1 de racionales (en términos más bajos) a las triples pitagóricas primitivas donde está en el intervalo y impar.
El mapeo inverso de un triple primitivo dónde a un racional se logra estudiando las dos sumas y . Una de estas sumas será un cuadrado que puede equipararse a y el otro será dos veces un cuadrado que se puede equiparar a . Entonces es posible determinar el racional.
Para enumerar las triples pitagóricas primitivas, la racional se puede expresar como un par ordenado y mapeado a un número entero usando una función de emparejamiento como la función de emparejamiento de Cantor . Se puede ver un ejemplo en (secuencia A277557 en la OEIS ). Comienza
- y da racionales
- estos, a su vez, generan triples primitivos
Spinors y el grupo modular
Las triples pitagóricas también se pueden codificar en una matriz cuadrada de la forma
Una matriz de esta forma es simétrica . Además, el determinante de X es
que es cero precisamente cuando ( a , b , c ) es un triple pitagórico. Si X corresponde a un triple pitagórico, entonces como matriz debe tener rango 1.
Como X es simétrico, se sigue de un resultado en álgebra lineal que hay un vector columna ξ = [ m n ] T tal que el producto externo
( 1 )
sostiene, donde la T denota la matriz transpuesta . El vector ξ se llama espinor (para el grupo de Lorentz SO (1, 2)). En términos abstractos, la fórmula de Euclides significa que cada triple primitivo de Pitágoras puede escribirse como el producto externo consigo mismo de un espinor con entradas enteras, como en ( 1 ).
El grupo modular Γ es el conjunto de matrices 2 × 2 con entradas enteras
con determinante igual a uno: αδ - βγ = 1 . Este conjunto forma un grupo , ya que la inversa de una matriz en Γ está nuevamente en Γ, al igual que el producto de dos matrices en Γ. El grupo modular actúa sobre la colección de todos los espinores enteros. Además, el grupo es transitivo en la colección de espinores enteros con entradas relativamente primarias. Porque si [ m n ] T tiene entradas relativamente primos, entonces
donde u y v se seleccionan (por el algoritmo de Euclides ) de modo que las mu + nv = 1 .
Al actuar sobre el espinor ξ en ( 1 ), la acción de Γ pasa a una acción sobre las triples pitagóricas, siempre que se permitan las triples con componentes posiblemente negativos. Por tanto, si A es una matriz en Γ, entonces
( 2 )
da lugar a una acción sobre la matriz X en ( 1 ). Esto no da una acción bien definida en triples primitivos, ya que puede tomar un triple primitivo a uno imprimitivo. Es conveniente en este punto (según Trautman 1998 ) llamar estándar triple ( a , b , c ) si c > 0 y ( a , b , c ) son primos relativos o ( a / 2, b / 2, c / 2) son primos relativos con un / 2 impar. Si el espinor [ m n ] T tiene entradas relativamente primos, entonces el triple asociado ( a , b , c ) determinado por ( 1 ) es un triple estándar. De ello se deduce que la acción del grupo modular es transitiva sobre el conjunto de triples estándar.
Alternativamente, restringir atención a aquellos valores de m y n para los que m es impar y n es par. Sea el subgrupo Γ (2) de Γ el núcleo del homomorfismo grupal
donde SL (2, Z 2 ) es el grupo lineal especial sobre el campo finito Z 2 de enteros módulo 2 . Entonces Γ (2) es el grupo de transformaciones unimodulares que preservan la paridad de cada entrada. Por lo tanto, si la primera entrada de ξ es impar y la segunda entrada es par, entonces lo mismo es cierto de A ξ para todo A ∈ Γ (2) . De hecho, bajo la acción ( 2 ), el grupo Γ (2) actúa transitivamente sobre la colección de triples pitagóricas primitivos ( Alperin 2005 ).
El grupo Γ (2) es el grupo libre cuyos generadores son las matrices
En consecuencia, cada primitiva de Pitágoras de triple se puede obtener de una manera única como un producto de copias de las matrices U y L .
Relaciones padre / hijo
Como resultado de Berggren (1934) , todas las tripletas pitagóricas primitivas se pueden generar a partir del triángulo (3, 4, 5) utilizando las tres transformaciones lineales T 1 , T 2 , T 3 a continuación, donde a , b , c son lados de un triple:
nuevo lado a | nuevo lado b | nuevo lado c | |
T 1 : | a - 2 b + 2 c | 2 a - b + 2 c | 2 a - 2 b + 3 c |
T 2 : | a + 2 b + 2 c | 2 a + b + 2 c | 2 a + 2 b + 3 c |
T 3 : | - a + 2 b + 2 c | −2 a + b + 2 c | −2 a + 2 b + 3 c |
En otras palabras, cada triple primitivo será un "padre" de tres triples primitivos adicionales. Partiendo del nodo inicial con a = 3, b = 4 y c = 5, la operación T 1 produce el nuevo triple
- (3 - (2 × 4) + (2 × 5), (2 × 3) - 4 + (2 × 5), (2 × 3) - (2 × 4) + (3 × 5)) = (5 , 12, 13),
e igualmente T 2 y T 3 producen los triples (21, 20, 29) y (15, 8, 17).
Las transformaciones lineales T 1 , T 2 y T 3 tienen una interpretación geométrica en el lenguaje de las formas cuadráticas . Están estrechamente relacionados con (pero no son iguales a) las reflexiones que generan el grupo ortogonal de x 2 + y 2 - z 2 sobre los números enteros. [28]
Relación con los enteros gaussianos
Alternativamente, las fórmulas de Euclides se pueden analizar y probar usando los enteros gaussianos . [29] Los enteros gaussianos son números complejos de la forma α = u + vi , donde u y v son enteros ordinarios e i es la raíz cuadrada del uno negativo . Las unidades de los enteros gaussianos son ± 1 y ± i. Los números enteros ordinarios se llaman los números enteros racionales y denotan como Z . Los enteros gaussianos se denotan como Z [ i ]. El lado derecho del teorema de Pitágoras se puede factorizar en enteros gaussianos:
Una primitiva de Pitágoras triple es una en la que una y b son primos entre sí , es decir, no comparten factores primos de los números enteros. Para tal un triple, ya sea una o b es par, y el otro es impar; de esto se deduce que c también es impar.
Los dos factores z : = a + bi y z * : = a - bi de un triple pitagórico primitivo cada uno es igual al cuadrado de un entero gaussiano. Esto se puede demostrar usando la propiedad de que cada entero gaussiano se puede factorizar de forma única en números primos gaussianos hasta unidades . [30] (Esta factorización única se deriva del hecho de que, en términos generales, se puede definir una versión del algoritmo euclidiano en ellos). La demostración tiene tres pasos. En primer lugar, si a y b comparten factores no privilegiados de los números enteros, entonces ellos también comparten no hay factores primos de los enteros de Gauss. (Suponga que a = gu y b = gv con los enteros gaussianos g , u y v y g no son una unidad. Entonces u y v se encuentran en la misma línea que pasa por el origen. Todos los enteros gaussianos en dicha línea son múltiplos enteros de algún número entero gaussiano h . Pero entonces el número entero gh ≠ ± 1 divide tanto una y b .) en segundo lugar, se deduce que z y z * igualmente no comparten factores primos en los enteros de Gauss. Porque si lo hicieran, entonces su divisor común δ también dividiría z + z * = 2 a y z - z * = 2 ib . Desde un y b son primos entre sí, que implica que divide delta 2 = (1 + i) (1 - i) = i (1 - i) 2 . De la fórmula c 2 = zz * , eso a su vez implicaría que c es par, contrariamente a la hipótesis de un triple pitagórico primitivo. En tercer lugar, dado que c 2 es un cuadrado, cada número primo de Gauss en su factorización se duplica, es decir, aparece un número par de veces. Dado que z y z * no comparten factores primos, esta duplicación también es válida para ellos. Por tanto, z y z * son cuadrados.
Por tanto, el primer factor se puede escribir
Las partes real e imaginaria de esta ecuación dan las dos fórmulas:
Para cualquier primitiva de Pitágoras triples, tiene que ser números enteros m y n tales que estas dos ecuaciones son satisfechas. Por lo tanto, cada triple pitagórico se puede generar a partir de alguna elección de estos números enteros.
Como enteros gaussianos cuadrados perfectos
Si consideramos el cuadrado de un entero gaussiano, obtenemos la siguiente interpretación directa de la fórmula de Euclides como la representación del cuadrado perfecto de un entero gaussiano.
Usando los hechos de que los enteros gaussianos son un dominio euclidiano y que para un entero gaussiano p es siempre un cuadrado es posible demostrar que un triple pitagórico corresponde al cuadrado de un entero gaussiano primo si la hipotenusa es prima.
Si el entero gaussiano no es primo, entonces es el producto de dos enteros gaussianos pyq con y enteros. Dado que las magnitudes se multiplican en los enteros gaussianos, el producto debe ser, que cuando se eleva al cuadrado para encontrar un triple pitagórico debe ser compuesto. El contrapositivo completa la demostración.
Relación con elipses con dimensiones integrales
Con referencia a la figura y la definición de los focos de una elipse , F 1 y F 2 , para cualquier punto P en la elipse, F 1 P + PF 2 es constante.
Como los puntos A y B están en la elipse, F 1 A + AF 2 = F 1 B + BF 2 . Debido a la simetría, F 1 A + AF 2 = F 2 A '+ AF 2 = AA' = 2 AC, y F 1 B + BF 2 = 2 BF 2 . Por tanto, AC = BF 2 .
Por lo tanto, si BCF 2 es un triángulo rectángulo con lados integrales, la separación de los focos, la excentricidad lineal, el eje menor y el eje mayor también son números enteros. [31]
Distribución de triples
Hay una serie de resultados sobre la distribución de las triples pitagóricas. En el diagrama de dispersión, ya son evidentes varios patrones obvios. Siempre que los catetos ( a , b ) de un triple primitivo aparezcan en la gráfica, todos los múltiplos enteros de ( a , b ) también deben aparecer en la gráfica, y esta propiedad produce la aparición de líneas que irradian desde el origen en el diagrama.
Dentro de la dispersión, hay conjuntos de patrones parabólicos con una alta densidad de puntos y todos sus focos en el origen, que se abren en las cuatro direcciones. Diferentes parábolas se cruzan en los ejes y parecen reflejarse fuera del eje con un ángulo de incidencia de 45 grados, con una tercera parábola entrando de manera perpendicular. Dentro de este cuadrante, cada arco centrado en el origen muestra esa sección de la parábola que se encuentra entre su punta y su intersección con su recto semilato .
Estos patrones se pueden explicar de la siguiente manera. Sies un número entero, entonces ( a ,, ) es un triple pitagórico. (De hecho, cada Pitágoras triple ( un , b , c ) se puede escribir de esta manera con número entero n , posiblemente después de intercambiar una y b , yay un y b no pueden ser ambos impar.) La Pitágoras triplica por lo tanto se encuentran en curvas dadas por, Es decir, parábolas reflejan en el un eje x, y las curvas correspondientes con un y b intercambiarse. Si a se varía para un n dado (es decir, en una parábola dada), los valores enteros de b ocurren con relativa frecuencia si n es un cuadrado o un pequeño múltiplo de un cuadrado. Si varios de estos valores se encuentran juntos, las parábolas correspondientes coinciden aproximadamente y los triples se agrupan en una estrecha franja parabólica. Por ejemplo, 38 2 = 1444, 2 × 27 2 = 1458, 3 × 22 2 = 1452, 5 × 17 2 = 1445 y 10 × 12 2 = 1440; la banda parabólica correspondiente alrededor de n ≈ 1450 es claramente visible en el diagrama de dispersión.
Las propiedades angulares descritas anteriormente se derivan inmediatamente de la forma funcional de las parábolas. Las parábolas se reflejan en el un eje x en un = 2 n , y la derivada de b con respecto a una en este punto es -1; por tanto, el ángulo de incidencia es de 45 °. Dado que los grupos, como todos los triples, se repiten en múltiplos enteros, el valor 2 n también corresponde a un grupo. Los correspondientes intersecta parábola la b eje y en ángulo recto a b = 2 n , y por lo tanto su reflexión sobre el intercambio de una y B se cruza con la de un eje y en ángulo recto en un = 2 n , precisamente donde la parábola para n se refleja en la de un eje x. (Lo mismo es cierto, por supuesto para un y b intercambiado.)
Albert Fässler y otros proporcionan información sobre el significado de estas parábolas en el contexto de las asignaciones conformes. [32] [33]
La secuencia platónica
El caso n = 1 de la construcción más general de las triples pitagóricas se conoce desde hace mucho tiempo. Proclo , en su comentario a la 47a Proposición del primer libro de los Elementos de Euclides , lo describe de la siguiente manera:
Se transmiten ciertos métodos para el descubrimiento de triángulos de este tipo, uno al que se refieren a Platón y otro a Pitágoras . (Este último) comienza con números impares. Porque hace que el número impar sea el más pequeño de los lados con respecto al ángulo recto; luego toma el cuadrado, resta la unidad y hace la mitad de la diferencia, el mayor de los lados del ángulo recto; por último, agrega unidad a esto y así forma el lado restante, la hipotenusa.
... Porque el método de Platón se basa en números pares. Toma el número par dado y lo convierte en uno de los lados del ángulo recto; luego, biseccionando este número y elevando al cuadrado la mitad, agrega unidad al cuadrado para formar la hipotenusa, y resta la unidad del cuadrado para formar el otro lado alrededor del ángulo recto. ... Así ha formado el mismo triángulo que se obtuvo por el otro método.
En forma de ecuación, esto se convierte en:
a es extraño (Pitágoras, c. 540 aC):
a es par (Platón, c. 380 aC):
Se puede demostrar que todos los triples pitagóricos se pueden obtener, con cambio de escala apropiado, de la secuencia platónica básico ( un , ( un 2 - 1) / 2 y ( un 2 + 1) / 2 ) permitiendo una para tomar no entero valores racionales. Si a se reemplaza con la fracción m / n en la secuencia, el resultado es igual al generador triple 'estándar' (2 mn , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) después del cambio de escala. De ello se deduce que cada triple con un racional correspondiente un valor que puede ser utilizado para generar un similares triángulo (uno con los mismos tres ángulos y con lados en las mismas proporciones que el original). Por ejemplo, el equivalente platónico de (56, 33, 65) es generado por a = m / n = 7/4 como ( a , ( a 2 –1) / 2, ( a 2 +1) / 2) = ( 56/32, 33/32, 65/32). La secuencia platónica en sí puede derivarse [ aclaración necesaria ] siguiendo los pasos para "dividir el cuadrado" descritos en Diofanto II.VIII .
La ecuación de Jacobi-Madden
La ecuacion,
es equivalente al triple pitagórico especial,
Hay un número infinito de soluciones para esta ecuación, ya que resolver las variables implica una curva elíptica . Los pequeños son
Sumas iguales de dos cuadrados
Una forma de generar soluciones para es parametrizar a, b, c, d en términos de enteros m, n, p, q de la siguiente manera: [34]
Sumas iguales de dos cuartas potencias
Dados dos conjuntos de triples pitagóricos,
el problema de encontrar productos iguales de un lado sin hipotenusa y la hipotenusa,
se ve fácilmente como equivalente a la ecuación,
y fue resuelto por primera vez por Euler como . Dado que mostró que este es un punto racional en una curva elíptica , entonces hay un número infinito de soluciones. De hecho, también encontró una parametrización polinomial de 7º grado.
Teorema del círculo de Descartes
Para el caso del teorema del círculo de Descartes donde todas las variables son cuadrados,
Euler demostró que esto es equivalente a tres triples pitagóricos simultáneos,
También hay un número infinito de soluciones, y para el caso especial cuando , entonces la ecuación se simplifica a,
con pequeñas soluciones como y se puede resolver como formas cuadráticas binarias .
Triples pitagóricas casi isósceles
Ninguna tripleta pitagórica es isósceles , porque la razón de la hipotenusa a cualquier otro lado es √ 2 , pero √ 2 no se puede expresar como la razón de 2 enteros .
Sin embargo, hay triángulos rectángulos con lados integrales para los cuales las longitudes de los lados que no son hipotenusa difieren en uno, tales como,
y un número infinito de otros. Se pueden parametrizar completamente como,
donde { x, y } son las soluciones de la ecuación de Pell .
Si a , b , c son los lados de este tipo de triple pitagórica primitiva (PPT), entonces la solución de la ecuación de Pell viene dada por la fórmula recursiva
- con y
- con y
- con y . [35] [36]
Esta secuencia de PPT forma el tallo central (tronco) del árbol ternario enraizado de los PPT.
Cuando es el lado más largo sin hipotenusa y la hipotenusa los que difieren en uno, como en
entonces la solución completa para el PPT a , b , c es
y
donde entero es el parámetro generador.
Muestra que todos los números impares (mayores que 1) aparecen en este tipo de PPT casi isósceles. Esta secuencia de PPT forma el tallo exterior del lado derecho del árbol ternario enraizado de PPT.
Otra propiedad de este tipo de PPT casi isósceles es que los lados están relacionados de tal manera que
por algún entero . O en otras palabras es divisible por como en
- . [37]
Números de Fibonacci en triples pitagóricos
Comenzando con 5, cada segundo número de Fibonacci es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados enteros, o en otras palabras, el número más grande en un triple pitagórico, obtenido de la fórmula
- (3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...
El lado medio de cada uno de estos triángulos es la suma de los tres lados del triángulo anterior. [38]
Generalizaciones
Hay varias formas de generalizar el concepto de tripletas pitagóricas.
N -tupla pitagórica
Usando la identidad algebraica simple ,
para x 0 , x 1 arbitrario , es fácil probar que el cuadrado de la suma de n cuadrados es en sí mismo la suma de n cuadrados al hacer que x 0 = x 2 2 + x 3 2 + ... + x n 2 y luego distribuyendo términos. [39] Se puede ver cómo las triples y cuádruples pitagóricas son solo los casos particulares x 0 = x 2 2 y x 0 = x 2 2 + x 3 2 , respectivamente, y así sucesivamente para otros n , con quintuplos dados por
Dado que la suma F ( k , m ) de k cuadrados consecutivos que comienzan con m 2 viene dada por la fórmula, [40]
uno puede encontrar valores ( k , m ) de modo que F ( k , m ) sea un cuadrado, como uno de Hirschhorn donde el número de términos es en sí mismo un cuadrado, [41]
y v ≥ 5 es cualquier número entero no divisible por 2 o 3. Para el caso más pequeño v = 5, por lo tanto, k = 25, esto produce el conocido problema de apilamiento de balas de cañón de Lucas ,
un hecho que está conectado a la celosía Leech .
Además, si en una n- tupla pitagórica ( n ≥ 4) todos los sumandos son consecutivos excepto uno, se puede usar la ecuación, [42]
Dado que la segunda potencia de p se cancela, esto es solo lineal y se resuelve fácilmente comoaunque k , m debe elegirse de modo que p sea un número entero, con un pequeño ejemplo k = 5, m = 1 dando,
Por lo tanto, una forma de generar n- tuplas pitagóricas es mediante el uso, para varias x , [43]
donde q = n –2 y donde
Cuádruple pitagórico
Un conjunto de cuatro números enteros positivos a , b , c y d de tal manera que un 2 + b 2 + c 2 = d 2 se llama un cuádruple de Pitágoras . El ejemplo más simple es (1, 2, 2, 3), ya que 1 2 + 2 2 + 2 2 = 3 2 . El siguiente ejemplo más simple (primitivo) es (2, 3, 6, 7), ya que 2 2 + 3 2 + 6 2 = 7 2 .
Todos los cuádruples están dados por la fórmula
Último teorema de Fermat
Una generalización del concepto de ternas pitagóricas es la búsqueda de ternas de números enteros positivos a , b , y c , tal que un n + b n = c n , por alguna n estrictamente mayor que 2. Pierre de Fermat en 1637 afirmó que hay tal triple existe, una afirmación que llegó a ser conocida como el último teorema de Fermat porque tomó más tiempo que cualquier otra conjetura de Fermat ser probada o refutada. Andrew Wiles dio la primera prueba en 1994.
n - 1 o n n º poderes sumando a un n º de potencia
Otra generalización es buscar secuencias de n + 1 enteros positivos para los cuales la n- ésima potencia del último es la suma de las n- ésimas potencias de los términos anteriores. Las secuencias más pequeñas para valores conocidos de n son:
- n = 3: {3, 4, 5; 6}.
- n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
- n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
- n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
- n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}
Para el caso n = 3, en el quellamada cúbica de Fermat , existe una fórmula general que da todas las soluciones.
Una generalización ligeramente diferente permite que la suma de ( k + 1) n- ésima potencia sea igual a la suma de ( n - k ) n- ésima potencia. Por ejemplo:
- ( n = 3): 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 , hecho famoso por el recuerdo de Hardy de una conversación con Ramanujan acerca de que el número 1729 es el número más pequeño que se puede expresar como una suma de dos cubos de dos formas distintas .
También pueden existir n - 1 enteros positivos cuyas n- ésimas potencias sumen una n- ésima potencia (aunque, según el último teorema de Fermat , no para n = 3); estos son contraejemplos de la conjetura de la suma de potencias de Euler . Los contraejemplos más pequeños conocidos son [44] [45] [14]
- n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
- n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)
El triángulo de Heronian se triplica
Un triángulo heroniano se define comúnmente como uno con lados enteros cuyo área también es un número entero, y consideraremos triángulos heronianos con lados enteros distintos . Las longitudes de los lados de dicho triángulo forman un triple heroniano ( a, b, c ) siempre que a < b < c . Cada triple pitagórico es un triple heroniano, porque al menos uno de los catetos a , b debe ser par en un triple pitagórico, por lo que el área ab / 2 es un número entero. Sin embargo, no todos los triples de Heronian son triples de Pitágoras, como muestra el ejemplo (4, 13, 15) con área 24.
Si ( a , b , c ) es un triple heroniano, también lo es ( ma , mb , mc ) donde m es cualquier número entero positivo; su área será el número entero que es m 2 veces el área entera del triángulo ( a , b , c ) . El triple de Heronian ( a , b , c ) es primitivo siempre que a , b , c sean coprimos bien definidos . (Con las triples pitagóricas primitivas también se aplica el enunciado más fuerte de que son coprimos por pares , pero con los triángulos heronianos primitivos el enunciado más fuerte no siempre es verdadero, como con (7, 15, 20)) . Triples heronianos que no son triples pitagóricos:
- (4, 13, 15) con área 24
- (3, 25, 26) con área 36
- (7, 15, 20) con área 42
- (6, 25, 29) con área 60
- (11, 13, 20) con área 66
- (13, 14, 15) con área 84
- (13, 20, 21) con área 126
Según la fórmula de Heron , la condición adicional para que un triple de enteros positivos ( a , b , c ) con a < b < c sea heroniano es que
- ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 - 2 ( a 4 + b 4 + c 4 )
o equivalente
- 2 ( a 2 b 2 + un 2 c 2 + b 2 c 2 ) - ( un 4 + b 4 + c 4 )
ser un cuadrado perfecto distinto de cero divisible por 16.
Aplicación a la criptografía
Los triples pitagóricos primitivos se han utilizado en criptografía como secuencias aleatorias y para la generación de claves. [46]
Ver también
- Problema de triples pitagóricos booleanos
- Congruum
- Diofanto II.VIII
- Triple de eisenstein
- Ladrillo Euler
- Triángulo de Heronian
- Teorema de Hilbert 90
- Triángulo entero
- Aritmética modular
- Número sin hipotenusa
- Plimpton 322
- Prima pitagórica
- Cuádruple pitagórico
- Fórmula de medio ángulo tangente
- Identidad trigonométrica
Notas
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Referencias
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enlaces externos
- Álgebras de Clifford y parametrización de triples pitagóricas de Euclides
- Curiosas consecuencias de una cuadrática mal copiada
- Discusión de las propiedades de las triples pitagóricas, calculadoras interactivas, acertijos y problemas
- Generando triples pitagóricos usando progresiones aritméticas
- "Números pitagóricos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Calculadora interactiva para triples pitagóricas
- La ecuación negativa de Pell y triples pitagóricas
- Parametrización de triples pitagóricos por un solo triple de polinomios
- Price, H. Lee (2008), "El árbol pitagórico: una nueva especie", arXiv : 0809.4324 [ math.HO ]
- Triples pitagóricos y el círculo unitario , cap. 2-3, en " Una introducción amistosa a la teoría de números " por Joseph H. Silverman, 3ª ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, Nueva Jersey, ISBN 0-13-186137-9
- Triples pitagóricos en el subprograma interactivo cut-the-knot que muestra las relaciones de los círculos unitarios con los triples pitagóricos
- Trillizos pitagóricos
- El notable círculo de un triángulo
- Soluciones para pares compatibles cuadráticos en relación con triples pitagóricos
- Propiedades teóricas de las Triples pitagóricas y conexiones con la geometría
- Los árboles trinarios subyacentes a las Triples pitagóricas primitivas al cortar el nudo
- Weisstein, Eric W. "Triple pitagórico" . MathWorld .