En matemáticas, un número trigonométrico [1] : cap. 5 es un número irracional producido al tomar el seno o coseno de un múltiplo racional de un círculo completo , o de manera equivalente, el seno o coseno de un ángulo que en radianes es un múltiplo racional de π , o el seno o coseno de un número racional de grados . Uno de los ejemplos más simples es
Un número real diferente de 0, 1, –1,1/2, - 1/2es un número trigonométrico si y solo si es la parte real de una raíz de unidad (ver el teorema de Niven ). Por tanto, cada número trigonométrico es la mitad de la suma de dos raíces unitarias conjugadas complejas. Esto implica que un número trigonométrico es un número algebraico y dos veces un número trigonométrico es un número entero algebraico .
Ivan Niven dio pruebas de teoremas relacionados con estos números. [ vago ] [1] [2] : cap. 3 Li Zhou y Lubomir Markov [3] recientemente mejoraron y simplificaron las demostraciones de Niven.
Cualquier número trigonométrico se puede expresar en términos de radicales . Aquellos que se pueden expresar en términos de raíces cuadradas están bien caracterizados (ver Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales ). Para expresar los otros en términos de radicales, se requieren raíces n -ésimas de números complejos no reales , con n > 2 .
Una prueba elemental de que todo número trigonométrico es un número algebraico es la siguiente. [2] : págs. 29-30 Se comienza con el enunciado de la fórmula de De Moivre para el caso depara coprime k y n :
Expandir el lado izquierdo y equiparar partes reales da una ecuación en y sustituyendo da una ecuación polinomial que tiene como solución, por definición, este último es un número algebraico. También es algebraico ya que es igual al número algebraico Finalmente, donde de nuevo es un múltiplo racional de π , es algebraico como la razón de dos números algebraicos. De una manera más elemental, esto también se puede ver equiparando las partes imaginarias de los dos lados de la expansión de la ecuación de Moivre entre sí y dividiendo por para obtener una ecuación polinomial en
Ver también
Referencias
- ^ a b Niven, Ivan. Números: Racional e Irracional , 1961. Random House. Nueva biblioteca matemática , vol. 1. ISSN 0548-5932 .
- ^ a b Niven, Ivan. Números irracionales , Monografías matemáticas de Carus núm. 11, 1956. Cambridge University Press (2005): ISBN 9780883850381 .
- ^ Zhou, Li y Markov, Lubomir (2010). "Pruebas recurrentes de la irracionalidad de ciertos valores trigonométricos". American Mathematical Monthly . 117 (4): 360–362. arXiv : 0911.1933 . doi : 10.4169 / 000298910x480838 . S2CID 19311924 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )