Número natural

Los números naturales se pueden utilizar para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, ...)

En matemáticas , los números naturales son los que se utilizan para contar (como en "hay seis monedas en la mesa") y ordenar (como en "esta es la tercera ciudad más grande del país"). En la terminología matemática común, las palabras que se usan coloquialmente para contar son " números cardinales " y las palabras que se usan para ordenar son " números ordinales ". Los números naturales pueden, en ocasiones, aparecer como un conjunto conveniente de códigos (etiquetas o "nombres"), es decir, como lo que los lingüistas llaman números nominales , renunciando a muchas o todas las propiedades de ser un número en un sentido matemático.^[1]^[2]^[3]

Algunas definiciones, incluida la norma ISO 80000-2 , ^[4]^[a] comienzan los números naturales con $0$ , correspondientes a los enteros no negativos $0, 1, 2, 3, ...$ , mientras que otras comienzan con $1$ , correspondientes a los enteros positivos $1, 2, 3, ...$ ^[5]^[6]^{[b] Los} textos que excluyen el cero de los números naturales a veces se refieren a los números naturales junto con el cero como números enteros , mientras que en otros escritos, término se usa en su lugar para los enteros (incluidos los enteros negativos). ^[7]

Los números naturales son una base a partir de la cual se pueden construir muchos otros conjuntos de números por extensión: los enteros , al incluir (si aún no están) el elemento neutro 0 y un inverso aditivo ( $- n$ ) para cada número natural $n$ distinto de cero ; los números racionales , incluyendo un inverso multiplicativo ( ) para cada entero $n$ distinto de cero (y también el producto de estos inversos por enteros); los números reales al incluir con los racionales los límites de las secuencias (convergentes) de racionales de Cauchy ; los números complejos ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {n}}}$ , incluyendo con los números reales la raíz cuadrada no resuelta de menos uno (y también las sumas y productos de las mismas); etcétera. ^[c]^[d] Esta cadena de extensiones hace que los números naturales estén incrustados (identificados) canónicamente en los otros sistemas numéricos.

Las propiedades de los números naturales, como la divisibilidad y la distribución de números primos , se estudian en teoría de números . Los problemas relacionados con el conteo y el ordenamiento, como la partición y las enumeraciones , se estudian en combinatoria .

En el lenguaje común, particularmente en la educación primaria, los números naturales pueden denominarse números de conteo ^[8] para excluir intuitivamente los enteros negativos y el cero, y también para contrastar la discreción del conteo con la continuidad de la medición , una característica distintiva de los números reales .

Historia

Raíces antiguas

Se cree que el hueso de Ishango (expuesto en el Real Instituto Belga de Ciencias Naturales ) ^[9]^[10]^[11] se utilizó hace 20.000 años para la aritmética de números naturales.

El método más primitivo de representar un número natural es poner una marca para cada objeto. Más tarde, se podría probar la igualdad, el exceso o la escasez de un conjunto de objetos, tachando una marca y eliminando un objeto del conjunto.

El primer gran avance en la abstracción fue el uso de numerales para representar números. Esto permitió desarrollar sistemas para registrar grandes cantidades. Los antiguos egipcios desarrollaron un poderoso sistema de números con jeroglíficos distintos para 1, 10 y todas las potencias de 10 hasta más de 1 millón. Una talla de piedra de Karnak , que data de alrededor del 1500 a. C. y ahora se encuentra en el Louvre de París, representa 276 como 2 centenas, 7 decenas y 6 unidades; y lo mismo para el número 4.622. Los babilonios tenían un valor posicionalsistema basado esencialmente en los números del 1 y 10, utilizando la base sesenta, de modo que el símbolo de sesenta era el mismo que el símbolo de uno, y su valor se determinaba a partir del contexto. ^[12]

Un avance mucho posterior fue el desarrollo de la idea de que 0 puede considerarse como un número, con su propio numeral. El uso de un dígito 0 en la notación de valor posicional (dentro de otros números) se remonta al año 700 a. C. por parte de los babilonios, quienes omitieron ese dígito cuando habría sido el último símbolo del número. ^[e] Las civilizaciones olmeca y maya usaron 0 como un número separado ya en el siglo I a. C. , pero este uso no se extendió más allá de Mesoamérica . ^[14]^[15] El uso de un número 0 en los tiempos modernos se originó con el matemático indio Brahmagupta.en 628 CE. Sin embargo, 0 se había utilizado como número en el computus medieval (el cálculo de la fecha de la Pascua), comenzando con Dionysius Exiguus en 525 EC, sin ser denotado por un número (los números romanos estándar no tienen un símbolo para 0). En cambio, nulla (o la forma genitiva nullae ) de nullus , la palabra latina para "ninguno", se empleó para denotar un valor 0. ^[dieciséis]

El primer estudio sistemático de los números como abstracciones suele atribuirse a los filósofos griegos Pitágoras y Arquímedes . Algunos matemáticos griegos trataron el número 1 de manera diferente a los números más grandes, a veces ni siquiera como un número. ^[f] Euclides , por ejemplo, definió una unidad primero y luego un número como una multitud de unidades, por lo tanto, según su definición, una unidad no es un número y no hay números únicos (por ejemplo, dos unidades cualesquiera de indefinidamente muchas unidades es a 2). ^[18]

También se realizaron estudios independientes sobre números aproximadamente al mismo tiempo en India , China y Mesoamérica . ^[19]

Definiciones modernas

En la Europa del siglo XIX, hubo una discusión matemática y filosófica sobre la naturaleza exacta de los números naturales. Una escuela ^{[ ¿cuál? ]} del naturalismo afirmó que los números naturales eran una consecuencia directa de la psique humana. Henri Poincaré fue uno de sus defensores, al igual que Leopold Kronecker , quien resumió su creencia como "Dios hizo los enteros, todo lo demás es obra del hombre". ^[gramo]

En oposición a los naturalistas, los constructivistas vieron la necesidad de mejorar el rigor lógico en los fundamentos de las matemáticas . ^[h] En la década de 1860, Hermann Grassmann sugirió una definición recursiva para los números naturales, afirmando así que no eran realmente naturales, sino una consecuencia de las definiciones. Posteriormente, se construyeron dos clases de tales definiciones formales; más tarde, se demostró que eran equivalentes en la mayoría de las aplicaciones prácticas.

Las definiciones teóricas de conjuntos de números naturales fueron iniciadas por Frege . Inicialmente definió un número natural como la clase de todos los conjuntos que están en correspondencia uno a uno con un conjunto particular. Sin embargo, esta definición resultó conducir a paradojas, incluida la paradoja de Russell . Para evitar tales paradojas, se modificó el formalismo para que un número natural se defina como un conjunto particular, y se dice que cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia uno a uno con ese conjunto tiene ese número de elementos. ^[22]

La segunda clase de definiciones fue introducida por Charles Sanders Peirce , refinada por Richard Dedekind y más explorada por Giuseppe Peano ; este enfoque ahora se llama aritmética de Peano . Se basa en una axiomatización de las propiedades de los números ordinales : cada número natural tiene un sucesor y todo número natural distinto de cero tiene un predecesor único. La aritmética de Peano es equivalente a varios sistemas débiles de teoría de conjuntos. Uno de esos sistemas es ZFC con el axioma del infinito reemplazado por su negación. Los teoremas que se pueden probar en ZFC pero que no se pueden probar con los axiomas de Peano incluyenTeorema de Goodstein . ^[23]

Con todas estas definiciones, es conveniente incluir 0 (correspondiente al conjunto vacío ) como número natural. Incluir 0 es ahora la convención común entre los teóricos de conjuntos ^[24] y los lógicos . ^[25] Otros matemáticos también incluyen 0, ^[a] y los lenguajes informáticos a menudo comienzan desde cero al enumerar elementos como contadores de bucles y elementos de cadena o matriz . ^[26]^[27] Por otro lado, muchos matemáticos han mantenido la antigua tradición de tomar 1 como el primer número natural. ^[28]

Notación

El símbolo N mayúscula de dos tachados , a menudo utilizado para denotar el conjunto de todos los números naturales (ver Glosario de símbolos matemáticos ).

Los matemáticos usan $N$ o para referirse al conjunto de todos los números naturales. ^[1]^[2]^[29] La existencia de tal conjunto se establece en la teoría de conjuntos . Los textos más antiguos también han empleado ocasionalmente a $J$ como símbolo de este conjunto. ^[30] ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Dado que habitualmente se asocian diferentes propiedades a los tokens $0$ y $1$ (por ejemplo, elementos neutrales para sumas y multiplicaciones, respectivamente), es importante saber qué versión de los números naturales se emplea en el caso en cuestión. Esto se puede hacer mediante una explicación en prosa, escribiendo explícitamente el conjunto o calificando el identificador genérico con un superíndice o subíndice, ^[4]^[31] por ejemplo, así:

Naturales sin cero: $\{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1}$
Naturales con cero: $\;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

Alternativamente, dado que los números naturales forman naturalmente un subconjunto de los números enteros (a menudo denotados ), $\mathbb {Z}$ pueden denominarse enteros positivos o no negativos, respectivamente. ^[32] Para ser inequívoco sobre si se incluye 0 o no, a veces se agrega un subíndice (o superíndice) "0" en el primer caso, y un superíndice " $*$ " en el último caso: ^[5]^[4]

\{1,2,3,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{>0}

\{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}=\mathbb {Z} _{\geq 0}

Propiedades

Adición

Dado el conjunto de los números naturales y la función sucesor enviar cada número natural a la siguiente, se puede definir además de los números naturales de forma recursiva mediante el establecimiento de $un$ $+ 0 =$ $un$ y $un$ $+$ $S$ $($ $b$ $) =$ $S$ $($ $un$ $+$ $b$ $)$ para todos $a$ , $b$ . Entonces $(ℕ, +)$ es un monoide conmutativo con elemento de identidad 0. Es un monoide libre en un generador. Este monoide conmutativo satisface el $\mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ propiedad de cancelación , por lo que se puede incrustar en un grupo . El grupo más pequeño que contiene los números naturales son los enteros .

Si 1 se define como $S (0)$ , entonces $b + 1 = b + S (0) = S (b + 0) = S (b)$ . Es decir, $b + 1$ es simplemente el sucesor de $b$ .

Multiplicación

De manera análoga, dado que se ha definido la suma , se puede definir un operador de multiplicación mediante $a$ $\times 0 = 0$ y $a$ $\times S ($ $b$ $) = ($ $a$ $\times$ $b$ $) +$ $a$ . Esto convierte $(ℕ$ $*$ $, \times)$ en un monoide conmutativo libre con elemento de identidad 1; un grupo electrógeno para este monoide es el conjunto de números primos . $\times$

Relación entre suma y multiplicación

La suma y la multiplicación son compatibles, lo que se expresa en la ley de distribución : $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ . Estas propiedades de la suma y la multiplicación hacen de los números naturales una instancia de un semirrígido conmutativo . Los semirings son una generalización algebraica de los números naturales donde la multiplicación no es necesariamente conmutativa. La falta de inversas aditivas, lo que equivale al hecho de que $ℕ$ no es cerradobajo resta (es decir, restar un natural de otro no siempre da como resultado otro natural), significa que $ℕ$ no es un anillo ; en cambio, es un semiring (también conocido como rig ).

Si los números naturales se toman como "excluyendo 0" y "comenzando en 1", las definiciones de + y × son las anteriores, excepto que comienzan con $a + 1 = S (a)$ y $a \times 1 = a$ .

Pedido

En esta sección, las variables yuxtapuestas como $ab$ indican el producto $a \times b$ , ^[33] y se asume el orden estándar de operaciones .

Un orden total de los números naturales se define dejando $a \leq b$ si y solo si existe otro número natural $c$ donde $a + c = b$ . Esta orden es compatible con las operaciones aritméticas en el siguiente sentido: si $una$ , $b$ y $c$ son números naturales y $un \leq b$ , a continuación, $un + c \leq b + c$ y $ac \leq bc$ .

Una propiedad importante de los números naturales es que están bien ordenados : cada conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo. El rango entre conjuntos bien ordenados se expresa mediante un número ordinal ; para los números naturales, esto se denota como $ω$ (omega).

División

En esta sección, las variables yuxtapuestas como $ab$ indican el producto $a \times b$ , y se asume el orden estándar de operaciones .

A pesar de que en general no es posible dividir un número natural por otro y obtener un número natural como resultado de ello, el procedimiento de división con residuo o división euclidiana está disponible como un sustituto: para cualesquiera dos números naturales $a$ y $b$ con $b \neq 0$ allí son números naturales $q$ y $r$ tales que

a=bq+r{\text{ and }}r<b.

El número $q$ se llama cociente y $r$ el resto de la división de $a$ por $b$ . Los números de $q$ y $r$ son determinadas unívocamente por $una$ y $b$ . Esta división euclidiana es clave para las otras propiedades ( divisibilidad ), algoritmos (como el algoritmo euclidiano ) e ideas en la teoría de números.

Propiedades algebraicas satisfechas por los números naturales

Las operaciones de suma (+) y multiplicación (×) en números naturales como se definieron anteriormente tienen varias propiedades algebraicas:

Cierre bajo la adición y multiplicación: para todos los números naturales $a$ y $b$ , tanto $un + b$ y $un \times b$ son números naturales. ^[34]
Asociatividad : para todos los números naturales $a$ , $b$ , y $c$ , $un + (b + c) = (a + b) + c$ y $un \times (b \times c) = (a x b) x c$ . ^[35]
Conmutatividad : para todos los números naturales $a$ y $b$ , $a + b = b + a$ y $a \times b = b \times a$ . ^[36]
La existencia de elementos de identidad : para cada número natural una , $un + 0 = un$ y $una \times 1 = una$ .
Distributividad de la multiplicación sobre la suma para todos los números naturales $a$ , $b$ y $c$ , $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ .
No hay distintos de cero divisores de cero : si $un$ y $b$ son números naturales de tal manera que $un \times b = 0$ , entonces $un = 0$ o $b = 0$ (o ambos).

infinito

El conjunto de números naturales es un conjunto infinito . Por definición, este tipo de infinito se llama infinito contable . Se dice que todos los conjuntos que se pueden poner en una relación biyectiva con los números naturales tienen este tipo de infinito. Esto también se expresa diciendo que el número cardinal del conjunto es aleph-nught ( $ℵ 0$ ). ^[37]

Generalizaciones

Dos generalizaciones importantes de los números naturales surgen de los dos usos de contar y ordenar: números cardinales y números ordinales .

Se puede usar un número natural para expresar el tamaño de un conjunto finito; más precisamente, un número cardinal es una medida del tamaño de un conjunto, que incluso es adecuado para conjuntos infinitos. Este concepto de "tamaño" se basa en mapas entre conjuntos, de modo que dos conjuntos tienen el mismo tamaño , exactamente si existe una biyección entre ellos. Se dice que el conjunto de números naturales en sí, y cualquier imagen biyectiva de él, es numerablemente infinito y tiene cardinalidad aleph-null ( $ℵ 0$ ).
Los números naturales también se utilizan como números ordinales lingüísticos : "primero", "segundo", "tercero", etc. De esta forma se pueden asignar a los elementos de un conjunto finito totalmente ordenado, y también a los elementos de cualquier conjunto infinito numerable bien ordenado . Esta asignación se puede generalizar a los ordenamientos de pozos generales con una cardinalidad más allá de la contabilidad, para producir los números ordinales. También se puede utilizar un número ordinal para describir la noción de "tamaño" de un conjunto bien ordenado, en un sentido diferente al de cardinalidad: si hay un isomorfismo de orden (¡más que una biyección!) Entre dos conjuntos bien ordenados, tienen el mismo número ordinal. El primer número ordinal que no es un número natural se expresa como $ω$ ; este es también el número ordinal del propio conjunto de números naturales.

El ordinal mínimo de cardinalidad $ℵ 0$ (es decir, el ordinal inicial de $ℵ 0$ ) es $ω$ pero muchos conjuntos bien ordenados con número cardinal $ℵ 0$ tienen un número ordinal mayor que $ω$ .

Para conjuntos finitos bien ordenados, existe una correspondencia biunívoca entre los números ordinales y cardinales; por tanto, ambos pueden expresarse mediante el mismo número natural, el número de elementos del conjunto. Este número también se puede usar para describir la posición de un elemento en una secuencia finita o infinita más grande .

Skolem desarrolló un modelo no estándar contable de aritmética que satisface la aritmética de Peano (es decir, los axiomas de Peano de primer orden) en 1933. Los números hipernaturales son un modelo incontable que se puede construir a partir de los números naturales ordinarios mediante la construcción de ultrapotencias. .

Georges Reeb solía afirmar provocativamente que los enteros ingenuos no se llenan $ℕ$ . Otras generalizaciones se discuten en el artículo sobre números.

Definiciones formales

Axiomas de Peano

Muchas propiedades de los números naturales pueden derivarse de los cinco axiomas de Peano : ^[38] ^[i]

0 es un número natural.
Todo número natural tiene un sucesor que también es un número natural.
0 no es el sucesor de ningún número natural.
Si el sucesor de es igual al sucesor de , entonces es igual . $x$ $y$ $x$ $y$
El axioma de la inducción : si un enunciado es verdadero de 0, y si la verdad de ese enunciado para un número implica su verdad para el sucesor de ese número, entonces el enunciado es verdadero para cada número natural.

Estos no son los axiomas originales publicados por Peano, pero se nombran en su honor. Algunas formas de los axiomas de Peano tienen 1 en lugar de 0. En aritmética ordinaria, el sucesor de es . Reemplazando el axioma 5 por un esquema de axioma, se obtiene una teoría de primer orden (más débil) llamada aritmética de Peano . $x$ $x+1$

Construcciones basadas en la teoría de conjuntos

Ordinales de von Neumann

En el área de las matemáticas llamada teoría de conjuntos , una construcción específica debida a John von Neumann ^[39]^[40] define los números naturales de la siguiente manera:

Establecer $0 = {}$ , el conjunto vacío ,
Defina $S (a) = a \cup {a}$ para cada conjunto $a$ . $S (a)$ es el sucesor de $a$ , y $S$ se llama función sucesora .
Según el axioma de infinito , existe un conjunto que contiene 0 y está cerrado bajo la función de sucesor. Se dice que tales conjuntos son inductivos . La intersección de todos estos conjuntos inductivos se define como el conjunto de números naturales. Se puede comprobar que el conjunto de números naturales satisface los axiomas de Peano .
De ello se deduce que cada número natural es igual al conjunto de todos los números naturales menores que él:

$0 = {}$ ,
$1 = 0 \cup {0} = {0} = {{}}$ ,
$2 = 1 \cup {1} = {0, 1} = {{}, {{}}}$ ,
$3 = 2 \cup {2} = {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}$ ,
$n = n -1 \cup {n -1} = {0, 1, ..., n -1} = {{}, {{}}, ..., {{}, {{}}, .. .}}$ , etc.

Con esta definición, un número natural $n$ es un conjunto particular con $n$ elementos, y $n \leq m$ si y solo si $n$ es un subconjunto de $m$ . La definición estándar, ahora llamada definición de ordinales de von Neumann , es: "cada ordinal es el conjunto bien ordenado de todos los ordinales más pequeños".

Además, con esta definición, coinciden diferentes interpretaciones posibles de notaciones como $ℝ n$ ( $n$ -tuplas versus mapeos de $n$ en $ℝ$ ).

Incluso si uno no acepta el axioma del infinito y, por lo tanto, no puede aceptar que existe el conjunto de todos los números naturales, todavía es posible definir cualquiera de estos conjuntos.

Ordinales de Zermelo

Aunque la construcción estándar es útil, no es la única construcción posible. La construcción de Ernst Zermelo es la siguiente: ^[40]

Establecer $0 = {}$
Defina $S (a) = {a}$ ,
Luego se sigue que

$0 = {}$ ,
$1 = {0} = {{}}$ ,
$2 = {1} = {{{}}}$ ,
$n = {n -1} = {{{...}}}$ , etc.

Cada número natural es entonces igual al conjunto que contiene solo el número natural que lo precede. Esta es la definición de los ordinales de Zermelo . A diferencia de la construcción de von Neumann, los ordinales de Zermelo no tienen en cuenta los ordinales infinitos.

Ver también

Problema de identificación de Benacerraf
Representación canónica de un entero positivo
Conjunto contable
Número # Clasificación para otros sistemas numéricos (racionales, reales, complejos, etc.)
Número ordinal
Definición de la teoría de conjuntos de números naturales

Notas

^ a b Mac Lane y Birkhoff (1999 , p. 15) incluyen cero en los números naturales: 'Intuitivamente, el conjunto de todos los números naturales puede describirse de la siguiente manera: contiene un número "inicial" $0$ ; ... '. Siguen eso con su versión de los axiomas de Peano . $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ $\mathbb {N}$
↑ Carothers (2000 , p. 3) dice: "es el conjunto de números naturales (enteros positivos)". Ambas definiciones se reconocen cuando es conveniente y no existe un consenso general sobre si el cero debe incluirse como números naturales. ^[2] $\mathbb {N}$
^ Mendelson (2008 , p. X) dice: "Toda la fantástica jerarquía de los sistemas numéricos se construye por medios puramente teóricos de conjuntos a partir de unas pocas suposiciones simples sobre los números naturales".
^ Bluman (2010 , p. 1): "Los números constituyen la base de las matemáticas".
↑ Una tablilla encontrada en Kish ... que se cree que data de alrededor del 700 aC, usa tres ganchos para denotar un lugar vacío en la notación posicional. Otras tabletas que datan aproximadamente de la misma época usan un solo gancho para un lugar vacío. ^[13]
↑ Esta convención se usa, por ejemplo, en Euclid's Elements , ver la edición web de D. Joyce del Libro VII. ^[17]
^ La traducción al inglés es de Gray. En una nota a pie de página, Gray atribuye la cita alemana a: "Weber 1891-1892, 19, citando una conferencia de Kronecker de 1886". ^[20]^[21]
^ "Gran parte del trabajo matemático del siglo XX se ha dedicado a examinar los fundamentos lógicos y la estructura del tema". ( Eves 1990 , p. 606)
↑ Hamilton (1988 , págs. 117 y siguientes) los llama "Postulados de Peano" y comienza con "1. 0 es un número natural".
Halmos (1960 , p. 46) utiliza el lenguaje de la teoría de conjuntos en lugar del lenguaje de la aritmética para sus cinco axiomas. Comienza con "(I) $0 \in ω$ (donde, por supuesto, $0 = \emptyset$ " ( $ω$ es el conjunto de todos los números naturales). Morash (1991) da "un axioma de dos partes" en el que los números naturales comienzan con 1. (Sección 10.1: Una axiomatización del sistema de números enteros positivos )

Referencias

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enlaces externos

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[8] Carothers (2000 , p. 3) dice: "es el conjunto de números naturales (enteros positivos)". Ambas definiciones se reconocen cuando es conveniente y no existe un consenso general sobre si el cero debe incluirse como números naturales. ^[2] $\mathbb {N}$

[10] Mendelson (2008 , p. X) dice: "Toda la fantástica jerarquía de los sistemas numéricos se construye por medios puramente teóricos de conjuntos a partir de unas pocas suposiciones simples sobre los números naturales".

[11] Bluman (2010 , p. 1): "Los números constituyen la base de las matemáticas".

[18] Una tablilla encontrada en Kish ... que se cree que data de alrededor del 700 aC, usa tres ganchos para denotar un lugar vacío en la notación posicional. Otras tabletas que datan aproximadamente de la misma época usan un solo gancho para un lugar vacío. ^[13]

[23] Esta convención se usa, por ejemplo, en Euclid's Elements , ver la edición web de D. Joyce del Libro VII. ^[17]

[28] La traducción al inglés es de Gray. En una nota a pie de página, Gray atribuye la cita alemana a: "Weber 1891-1892, 19, citando una conferencia de Kronecker de 1886". ^[20]^[21]

[29] "Gran parte del trabajo matemático del siglo XX se ha dedicado a examinar los fundamentos lógicos y la estructura del tema". ( Eves 1990 , p. 606)

[47] Hamilton (1988 , págs. 117 y siguientes) los llama "Postulados de Peano" y comienza con "1. 0 es un número natural".
Halmos (1960 , p. 46) utiliza el lenguaje de la teoría de conjuntos en lugar del lenguaje de la aritmética para sus cinco axiomas. Comienza con "(I) $0 \in ω$ (donde, por supuesto, $0 = \emptyset$ " ( $ω$ es el conjunto de todos los números naturales). Morash (1991) da "un axioma de dos partes" en el que los números naturales comienzan con 1. (Sección 10.1: Una axiomatización del sistema de números enteros positivos )

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