Punto singular de una variedad algebraica
En el campo matemático de la geometría algebraica , un punto singular de una variedad algebraica V es un punto P que es 'especial' (entonces, singular), en el sentido geométrico de que en este punto el espacio tangente en la variedad puede no estar definido regularmente. . En el caso de variedades definidas sobre los reales, esta noción generaliza la noción de no planitud local . Un punto de una variedad algebraica que no es singular se dice que es regular . Una variedad algebraica que no tiene un punto singular se dice que es no singular o suave .
donde F es una función suave se dice que es singular en un punto si la serie de Taylor de F tiene orden de al menos 2 en ese punto.
La razón de esto es que, en cálculo diferencial , la tangente en el punto ( x 0 , y 0 ) de dicha curva está definida por la ecuación
cuyo lado izquierdo es el término de grado uno de la expansión de Taylor. Por lo tanto, si este término es cero, la tangente no puede definirse de la manera estándar, ya sea porque no existe o se debe proporcionar una definición especial.
los puntos singulares son aquellos en los que se anulan simultáneamente todas las derivadas parciales . Siendo una variedad algebraica general V definida como los ceros comunes de varios polinomios , la condición para que un punto P de V sea un punto singular es que la matriz jacobiana de las derivadas parciales de primer orden de los polinomios tenga un rango en P menor que el rango en otros puntos de la variedad.
Los puntos de V que no son singulares se llaman no singulares o regulares . Siempre es cierto que casi todos los puntos son no singulares, en el sentido de que los puntos no singulares forman un conjunto a la vez abierto y denso en la variedad (para la topología de Zariski , así como para la topología habitual, en la caso de variedades definidas sobre los números complejos ). [1]
