Función simétrica no conmutativa
En matemáticas, las funciones simétricas no conmutativas forman un álgebra de Hopf NSymm análoga al álgebra de Hopf de funciones simétricas . El álgebra de Hopf NSymm fue presentado por Israel M. Gelfand , Daniel Krob, Alain Lascoux , Bernard Leclerc, Vladimir Retakh y Jean-Yves Thibon. [1] Es álgebra de Hopf graduada coconmutativa pero no conmutativa. Tiene el álgebra de Hopf de funciones simétricas como cociente, y es una subálgebra del álgebra de Hopf de permutaciones , y es el dual graduado del álgebra de Hopf de funciones cuasisimétricas.. Sobre los números racionales es isomórfico como un álgebra de Hopf al álgebra envolvente universal del álgebra de Lie libre en muchas variables contables.
El álgebra subyacente del álgebra de Hopf de funciones simétricas no conmutativas es el anillo libre Z ⟨ Z 1 , Z 2 ,...⟩ generado por variables no conmutativas Z 1 , Z 2 , ...
sobre un anillo A equivale a una acción de NSymm sobre A : la parte de D que toma el coeficiente de , es la acción de la indeterminada Z i .
El elemento Σ Z n t n es un elemento de tipo grupo del álgebra de Hopf de series de potencias formales sobre NSymm, por lo que sobre los racionales su logaritmo es primitivo. Los coeficientes de su logaritmo generan el álgebra de Lie libre sobre un conjunto contable de generadores sobre los racionales. Sobre los racionales esto identifica el álgebra de Hopf NSYmm con el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie libre.