Función homogénea

En matemáticas , una función homogénea es aquella con comportamiento de escala multiplicativo : si todos sus argumentos se multiplican por un escalar , entonces su valor se multiplica por alguna potencia de este escalar.

Por ejemplo, una homogénea valor real- función de dos variables y es una función de valor real que satisfaga la condición para alguna constante y todos los números reales La constante se llama el grado de homogeneidad .${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle f (rx, ry) = r ^ {k} f (x, y)}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle r.}$${\ Displaystyle k}$

De manera más general, si es una función entre dos espacios vectoriales sobre un campo y es un número entero , entonces se dice que es homogéneo de grado si${\ Displaystyle f: V \ a W}$ ${\ Displaystyle F,}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle k}$

para todos los escalares distintos de cero y Esta definición a menudo se generaliza a funciones cuyo dominio no es V , sino un cono en V , es decir, un subconjunto C de V tal que implica para cada escalar s .${\ Displaystyle s \ in F}$${\ Displaystyle v \ in V.}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ in C}$${\ Displaystyle s \ mathbf {v} \ in C}$

Cuando los espacios vectoriales involucrados están por encima de los números reales , a menudo se usa una forma ligeramente menos general de homogeneidad, requiriendo solo que ( 1 ) se mantenga para todos${\ Displaystyle s> 0.}$

También se pueden definir funciones homogéneas para espacios vectoriales con el origen eliminado, hecho que se utiliza en la definición de roldanas en el espacio proyectivo en geometría algebraica . De manera más general, si hay algún subconjunto que es invariante bajo la multiplicación escalar por elementos del campo (un "cono"), entonces una función homogénea de S a W aún puede definirse mediante ( 1 ).${\ Displaystyle S \ subseteq V}$

Una función homogénea no es necesariamente continua , como se muestra en este ejemplo. Esta es la función definida por si y si Esta función es homogénea de grado 1, es decir, para cualquier número real Es discontinua en${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f (x, y) = x}$${\ Displaystyle xy> 0}$${\ displaystyle f (x, y) = 0}$${\ Displaystyle xy \ leq 0.}$${\ Displaystyle f (sx, sy) = sf (x, y)}$${\ Displaystyle s, x, y.}$${\ Displaystyle y = 0, x \ neq 0.}$