En la teoría matemática de grupos , un p-complemento normal de un grupo finito para un primo p es un subgrupo normal de orden coprimo de p e índice de una potencia de p . En otras palabras, el grupo es un producto semidirecto del p -complemento normal y cualquier p - subgrupo de Sylow . Un grupo se llama p-nilpotente si tiene un complemento p normal .
Cayley demostró que si el subgrupo 2 de Sylow de un grupo G es cíclico , entonces el grupo tiene un complemento 2 normal, lo que muestra que el subgrupo 2 de Sylow de un grupo simple de orden par no puede ser cíclico.
Burnside ( 1911 , Teorema II, sección 243) demostró que si un p -subgrupo de Sylow de un grupo G está en el centro de su normalizador, entonces G tiene un p -complemento normal . Esto implica que si p es el primo más pequeño que divide el orden de un grupo G y el p -subgrupo de Sylow es cíclico, entonces G tiene un p -complemento normal .
El teorema del complemento p normal de Frobenius es un refuerzo del teorema del complemento p normal de Burnside , que establece que si el normalizador de cada subgrupo no trivial de un subgrupo p de Sylow de G tiene un complemento p normal , entonces G también lo tiene. . Más precisamente, las siguientes condiciones son equivalentes:
El teorema del complemento p normal de Frobenius muestra que si todo normalizador de un subgrupo no trivial de un subgrupo p de Sylow tiene un complemento p normal , G también lo tiene . Para las aplicaciones, a menudo es útil tener una versión más fuerte donde, en lugar de usar todos los subgrupos no triviales de un p -subgrupo de Sylow , uno usa solo los subgrupos característicos no triviales. Para los primos impares p , Thompson encontró un criterio tan reforzado: de hecho, no necesitaba todos los subgrupos característicos, sino solo dos especiales.
Thompson (1964) mostró que si p es un primo impar y los grupos N(J( P )) y C(Z( P )) ambos tienen p -complementos normales para un P-subgrupo de Sylow de G , entonces G tiene un p-complemento normal p -complemento.