En la teoría de la probabilidad , aunque ejemplos simples ilustran que la falta de correlación lineal de dos variables aleatorias no implica en general su independencia , a veces se piensa erróneamente que sí implica que cuando las dos variables aleatorias se distribuyen normalmente . Este artículo demuestra que el supuesto de distribuciones normales no tiene esa consecuencia, aunque sí la tiene la distribución normal multivariada , incluida la distribución normal bivariada .
Para decir que la pareja de variables aleatorias tiene una distribución normal bivariada significa que cada combinación lineal de y para coeficientes constantes (es decir, no aleatorios) y tiene una distribución normal univariante. En ese caso, si y no están correlacionados, entonces son independientes. [1] Sin embargo, es posible que dos variables aleatorias y estar tan distribuidos conjuntamente que cada uno por sí solo está marginalmente distribuido normalmente, y no están correlacionados, pero no son independientes; se dan ejemplos a continuación.
Ejemplos de
Un ejemplo simétrico
Suponer tiene una distribución normal con valor esperado 0 y varianza 1. Seatienen la distribución de Rademacher , de modo que o , cada uno con probabilidad 1/2, y suponga es independiente de . Dejar. Luego
- y no están correlacionados;
- ambos tienen la misma distribución normal; y
- y no son independientes. [2] [3]
Para ver eso y no están correlacionados, se puede considerar la covarianza : por definición, es
Entonces, por definición de las variables aleatorias , , y , y la independencia de de , uno tiene
Para ver eso tiene la misma distribución normal que , considerar
(desde y ambos tienen la misma distribución normal), donde es la función de distribución acumulada de la distribución normal.
Para ver eso y no son independientes, observe que o eso .
Finalmente, la distribución de la combinación lineal simple concentra la probabilidad positiva en 0: . Por tanto, la variable aleatoria no se distribuye normalmente, por lo que también y no se distribuyen normalmente de forma conjunta (según la definición anterior).
Un ejemplo asimétrico
Suponer tiene una distribución normal con valor esperado 0 y varianza 1. Sea
dónde es un número positivo que se especificará a continuación. Sies muy pequeña, entonces la correlación está cerca Si es muy grande, entonces está cerca de 1. Dado que la correlación es una función continua de, el teorema del valor intermedio implica que hay algún valor particular deeso hace que la correlación sea 0. Ese valor es aproximadamente 1,54. [nota 1] En ese caso, y no están correlacionados, pero claramente no son independientes, ya que determina completamente .
Para ver eso se distribuye normalmente, de hecho, que su distribución es la misma que la de —Se puede calcular su función de distribución acumulativa :
donde la penúltima igualdad se sigue de la simetría de la distribución de y la simetría de la condición que .
En este ejemplo, la diferencia no está ni cerca de tener una distribución normal, ya que tiene una probabilidad sustancial (aproximadamente 0,88) de que sea igual a 0. Por el contrario, la distribución normal, al ser una distribución continua, no tiene parte discreta, es decir, no se concentra más de probabilidad cero en cualquier punto. como consecuencia y no se distribuyen normalmente de forma conjunta , aunque se distribuyen normalmente por separado. [4]
Ejemplos con soporte en casi todas partes en ℝ 2
Es bien sabido que la relación de dos desviaciones aleatorias normales estándar independientes y tiene una distribución de Cauchy . También se puede empezar con la variable aleatoria de Cauchy. y derivar la distribución condicional de para satisfacer el requisito de que con y independiente y estándar normal. Repasando las matemáticas, uno encuentra que
en el cual es una variable aleatoria de Rademacher y es una variable aleatoria de Chi-cuadrado con dos grados de libertad.
Considere dos conjuntos de , . Tenga en cuenta que no está indexado por - es decir, la misma variable aleatoria de Cauchy se utiliza en la definición de ambos y . Este compartir de resulta en dependencias entre índices: ninguno ni es independiente de . Sin embargo, todos los y no están correlacionados ya que todas las distribuciones bivariadas tienen simetría de reflexión a través de los ejes.
La figura muestra diagramas de dispersión de muestras extraídas de la distribución anterior. Esto proporciona dos ejemplos de distribuciones bivariadas que no están correlacionadas y tienen distribuciones marginales normales pero no son independientes. El panel de la izquierda muestra la distribución conjunta de y ; la distribución tiene soporte en todas partes menos en el origen. El panel de la derecha muestra la distribución conjunta de y ; la distribución tiene soporte en todas partes excepto a lo largo de los ejes y tiene una discontinuidad en el origen: la densidad diverge cuando el origen se aproxima a lo largo de cualquier camino recto excepto a lo largo de los ejes.
Ver también
Referencias
- ^ Hogg, Robert ; Tanis, Elliot (2001). "Capítulo 5.4 La distribución normal bivariada". Probabilidad e inferencia estadística (6ª ed.). págs. 258-259. ISBN 0130272949.
- ^ UIUC, Conferencia 21. La distribución normal multivariante , 21,6: "Individualmente gaussiano versus conjuntamente gaussiano".
- ^ Rosenthal, Jeffrey S. (2005). "Una perorata sobre variables aleatorias normales no correlacionadas" .
- ^ Edward L. Melnick y Aaron Tenenbein, "Especificaciones erróneas de la distribución normal", The American Statistician , volumen 36, número 4 de noviembre de 1982, páginas 372–373
- Notas
- ^ Más precisamente 1,53817 ..., la raíz cuadrada de la mediana de una distribución chi-cuadrado con 3 grados de libertad.