Una variedad invariante normalmente hiperbólica (NHIM) es una generalización natural de un punto fijo hiperbólico y un conjunto hiperbólico . La diferencia se puede describir heurísticamente como sigue: Para una variedad Para ser normalmente hiperbólico se nos permite suponer que la dinámica de en sí mismo es neutral en comparación con la dinámica cercana, lo que no está permitido para un conjunto hiperbólico. Los NHIM fueron introducidos por Neil Fenichel en 1972. [1] En este y otros artículos posteriores, [2] [3] Fenichel demuestra que los NHIM poseen variedades estables e inestables y, lo que es más importante, las NHIM y sus variedades estables e inestables persisten bajo pequeñas perturbaciones. Así, en problemas que involucran la teoría de perturbaciones, existen variedades invariantes con ciertas propiedades de hiperbolicidad, que a su vez pueden usarse para obtener información cualitativa sobre un sistema dinámico. [4]
Definición
Sea M una variedad compacta suave , f : M → M un difeomorfismo y Df : TM → TM el diferencial de f . Un f -invariant subvariedad Λ de M se dice que es una variedad invariante normalmente hiperbólica si la restricción a Λ del paquete de la tangente de M admite una división en una suma de tres Df subhaces -invariant, uno que es el paquete de la tangente de, los otros son el paquete estable y el paquete inestable y se denotan como E s y E u , respectivamente. Con respecto a alguna métrica de Riemann en M , la restricción de Df a E s debe ser una contracción y la restricción de Df a E u debe ser una expansión, y debe ser relativamente neutra en. Por tanto, existen constantesy c > 0 tal que
y
Ver también
Referencias
- ^ Fenichel, N (1972). "Persistencia y suavidad de colectores invariantes para flujos" . Indiana Univ. Matemáticas. J . 21 (3): 193–226. doi : 10.1512 / iumj.1971.21.21017 .
- ^ Fenichel, N (1974). "Estabilidad asintótica con condiciones de tasa" . Indiana Univ. Matemáticas. J . 23 (12): 1109-1137. doi : 10.1512 / iumj.1974.23.23090 .
- ^ Fenichel, N (1977). "Estabilidad asintótica con condiciones de frecuencia II" . Indiana Univ. Matemáticas. J . 26 (1): 81–93. doi : 10.1512 / iumj.1977.26.26006 .
- ^ A. Katok y B. Hasselblatt Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos , Cambridge University Press (1996), ISBN 978-0521575577
- MW Hirsch, CC Pugh y M. Shub Invariant Manifolds , Springer-Verlag (1977), ISBN 978-3540081487 doi : 10.1007 / BFb0092042