En las matemáticas , y en particular el estudio de los sistemas dinámicos , la idea de estabilidad y se pone inestable o estable y variedades inestables dar una definición matemática formal a las nociones generales consagrados en la idea de un atractor o repulsor . En el caso de la dinámica hiperbólica , la noción correspondiente es la de conjunto hiperbólico .
Ejemplo fisico
Las fuerzas de marea gravitacionales que actúan sobre los anillos de Saturno proporcionan un ejemplo físico fácil de visualizar. Las fuerzas de las mareas aplanan el anillo en el plano ecuatorial, incluso cuando lo estiran en la dirección radial. Imaginando que los anillos son partículas de arena o grava ("polvo") en órbita alrededor de Saturno, las fuerzas de las mareas son tales que cualquier perturbación que empuje las partículas por encima o por debajo del plano ecuatorial hace que la partícula sienta una fuerza restauradora, empujándola hacia atrás. avión. Las partículas oscilan efectivamente en un pozo armónico, amortiguado por colisiones. La dirección estable es perpendicular al anillo. La dirección inestable es a lo largo de cualquier radio, donde las fuerzas se estiran y separan las partículas. Dos partículas que comienzan muy cerca una de la otra en el espacio de fase experimentarán fuerzas radiales que las harán divergir, radialmente. Estas fuerzas tienen un exponente de Lyapunov positivo ; las trayectorias se encuentran en una variedad hiperbólica, y el movimiento de partículas es esencialmente caótico , vagando a través de los anillos. El colector central es tangencial a los anillos, y las partículas no experimentan compresión ni estiramiento. Esto permite que dominen las fuerzas gravitacionales de segundo orden, por lo que las partículas pueden ser arrastradas por lunas o pequeñas lunares en los anillos, bloqueando la fase en ellos. Las fuerzas gravitacionales de las lunas proporcionan efectivamente una pequeña patada que se repite regularmente, cada vez alrededor de la órbita, similar a un rotor pateado , como el que se encuentra en un bucle de fase bloqueada .
El movimiento en tiempo discreto de las partículas en el anillo se puede aproximar mediante el mapa de Poincaré . El mapa proporciona efectivamente la matriz de transferencia del sistema. El vector propio asociado con el valor propio más grande de la matriz es el vector propio de Frobenius-Perron , que también es la medida invariante , es decir , la densidad real de las partículas en el anillo. Todos los demás autovectores de la matriz de transferencia tienen autovalores más pequeños y corresponden a modos de descomposición.
Definición
A continuación se proporciona una definición para el caso de un sistema que es una función iterada o tiene una dinámica de tiempo discreto. Nociones similares se aplican a sistemas cuya evolución temporal viene dada por un flujo .
Dejar ser un espacio topológico , yun homeomorfismo . Sies un punto fijo para, el conjunto estable de es definido por
y el inestable conjunto de es definido por
Aquí, denota la inversa de la función, es decir , dónde es el mapa de identidad en .
Si es un punto periódico de menor período, entonces es un punto fijo de , y los conjuntos estables e inestables de están definidos por
y
Dado un barrio de , los conjuntos locales estables e inestables de están definidos por
y
Si es metrizable , podemos definir los conjuntos estables e inestables para cualquier punto por
y
dónde es una métrica para. Esta definición coincide claramente con la anterior cuando es un punto periódico.
Supongamos ahora que es un colector compacto y liso , y es un difeomorfismo ,. Sies un punto periódico hiperbólico, el teorema de la variedad estable asegura que para alguna vecindad de , los conjuntos locales estables e inestables son discos incrustados, cuyos espacios tangentes en están y (los espacios estables e inestables de ), respectivamente; Además, varían continuamente (en cierto sentido) en un vecindario de en el topología de (el espacio de todos difeomorfismos de a sí mismo). Finalmente, los conjuntos estables e inestables sonDiscos sumergidos por inyección. Es por eso que comúnmente se les llama variedades estables e inestables . Este resultado también es válido para puntos no periódicos, siempre que se encuentren en algún conjunto hiperbólico (teorema de variedad estable para conjuntos hiperbólicos).
Observación
Si es un espacio vectorial (de dimensión finita) y un isomorfismo, sus conjuntos estable e inestable se denominan espacio estable y espacio inestable, respectivamente.
Ver también
Referencias
- Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Misa de lectura: Benjamin / Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
- Irwin, Michael C. (2001). "Colectores estables" . Sistemas dinámicos suaves . World Scientific. págs. 143-160. ISBN 981-02-4599-8.
- Sritharan, SS (1990). Teoría del colector invariable para la transición hidrodinámica . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-582-06781-2.
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