En las matemáticas de los sistemas en evolución, el concepto de una variedad central se desarrolló originalmente para determinar la estabilidad de los equilibrios degenerados. Posteriormente, se comprendió que el concepto de variedades centrales era fundamental para el modelado matemático .
Las variedades centrales juegan un papel importante en la teoría de la bifurcación porque tiene lugar un comportamiento interesante en la variedad central y en las matemáticas multiescala porque la dinámica a largo plazo de la microescala a menudo se ve atraída por una variedad central relativamente simple que involucra las variables de escala gruesa.
Ejemplo informal
Los anillos de Saturno proporcionan un ejemplo aproximado de la variedad central de las fuerzas de marea que actúan sobre las partículas dentro de los anillos. Las fuerzas de marea tienen una acción característica de "comprimir y estirar" sobre los cuerpos, con la dirección de compresión definiendo el colector estable , la dirección de estiramiento definiendo el colector inestable y la dirección neutra siendo el colector central. En el caso de Saturno, una partícula en órbita por encima o por debajo de los anillos cruzará los anillos y, desde el punto de vista de los anillos, parecerá oscilar desde arriba hacia abajo del plano y hacia atrás. Por tanto, parece que los anillos son "atractivos". La fricción, a través de colisiones con otras partículas en los anillos, amortiguará esas oscilaciones; por lo que disminuirán. Tales trayectorias convergentes son características de la variedad estable: las partículas en la variedad estable se acercan entre sí. Las partículas dentro del anillo tendrán un radio orbital que es un paseo aleatorio : cuando se encuentren en encuentros cercanos con otras partículas en el anillo, intercambiarán energía en esos encuentros y, por lo tanto, alterarán su radio. En este sentido, el espacio donde se encuentran los anillos es neutral: no hay más fuerzas hacia arriba o hacia abajo (fuera del plano de los anillos), ni hacia adentro ni hacia afuera (cambiando el radio dentro de los anillos).
Este ejemplo es un poco confuso, ya que, hablando con propiedad, las variedades estable, inestable y neutra no dividen el espacio de coordenadas ; dividen el espacio de fase . En este caso, el espacio de fase tiene la estructura de una variedad tangente : para cada punto en el espacio (una posición 3D), existe la colección de "vectores tangentes": todas las velocidades posibles que podría tener una partícula. Algunos pares de posición-velocidad se dirigen hacia el colector central, otros se alejan de él. Los que están en el colector central son susceptibles a pequeñas perturbaciones que generalmente los empujan al azar y, a menudo, los empujan fuera del colector central. Es decir, pequeñas perturbaciones tienden a desestabilizar puntos en la variedad central: la variedad central se comporta como un punto de silla , o más bien, una colección extendida de puntos de silla. Hay dramáticos ejemplos en contra de esta idea de inestabilidad en la variedad central; consulte la estructura coherente de Lagrange para obtener ejemplos detallados.
Un ejemplo mucho más sofisticado es el flujo de Anosov en haces tangentes de superficies de Riemann. En ese caso, se puede escribir una división muy explícita y precisa del espacio tangente en tres partes: los haces inestable y estable, con la variedad neutra encajada en el medio entre estos dos. Este ejemplo es elegante, en el sentido de que no requiere aproximaciones ni agitar las manos: es exactamente solucionable. Es un ejemplo relativamente sencillo y sencillo para aquellos familiarizados con el esquema general de los grupos de Lie y las superficies de Riemann .
Definición
La variedad central de un sistema dinámico se basa en un punto de equilibrio de ese sistema. Una variedad central del equilibrio consiste entonces en esas órbitas cercanas que ni decaen exponencialmente rápidamente, ni crecen exponencialmente rápidamente.
Matemáticamente, el primer paso al estudiar los puntos de equilibrio de los sistemas dinámicos es linealizar el sistema y luego calcular sus autovalores y autovectores . Los autovectores (y autovectores generalizados si ocurren) correspondientes a autovalores con parte real negativa forman una base para el autoespacio estable . Los autovectores (generalizados) correspondientes a autovalores con parte real positiva forman el autoespacio inestable. Si el punto de equilibrio es hiperbólico (es decir, todos los autovalores de la linealización tienen una parte real distinta de cero), entonces el teorema de Hartman-Grobman garantiza que estos autovalores y autovectores caracterizan completamente la dinámica de sistemas cerca del equilibrio.
Sin embargo, si el equilibrio tiene valores propios cuya parte real es cero, entonces los vectores propios correspondientes (generalizados) forman el espacio propio central; para una pelota, el espacio propio central es el conjunto completo de dinámicas de cuerpo rígido no forzado . [1] Yendo más allá de la linealización, cuando tenemos en cuenta las perturbaciones por no linealidad o forzamiento en el sistema dinámico, el espacio propio central se deforma en la variedad central cercana. [2] Si los valores propios son precisamente cero (como lo son para la pelota), en lugar de que la parte real sea cero, entonces el espacio propio correspondiente da lugar más específicamente a una variedad lenta . El comportamiento en el colector central (lento) generalmente no está determinado por la linealización y, por lo tanto, puede ser difícil de construir.
De manera análoga, la no linealidad o forzamiento en el sistema perturba los espacios propios estables e inestables a una variedad estable cercana y una variedad inestable cercana . [3] Estos tres tipos de variedades son tres casos de una variedad invariante .
Algebraicamente, dejemos ser un sistema dinámico con punto de equilibrio . La linealización del sistema cerca del punto de equilibrio es
La matriz jacobiana define tres subespacios principales:
- el subespacio estable, que está atravesado por los autovectores generalizados correspondientes a los autovalores con ;
- el subespacio inestable, que está atravesado por los autovectores generalizados correspondientes a los autovalores con ;
- el subespacio central, que está atravesado por los autovectores generalizados correspondientes a los autovalores con .
Dependiendo de la aplicación, otros subespacios de interés incluyen subespacios de centro estable, centro inestable, subcentro, lento y rápido. Estos subespacios son todos subespacios invariantes de la ecuación linealizada.
En correspondencia con el sistema linealizado, el sistema no lineal tiene variedades invariantes , cada una de las cuales consta de conjuntos de órbitas del sistema no lineal. [4]
- Una variedad invariante tangente al subespacio estable y con la misma dimensión es la variedad estable .
- La variedad inestable es de la misma dimensión y tangente al subespacio inestable.
- Una variedad central es de la misma dimensión y tangente al subespacio central. Si, como es común, los valores propios del subespacio central son todos precisamente cero, en lugar de solo cero parte real, entonces una variedad central a menudo se llama variedad lenta .
Teoremas de la variedad central
El teorema de existencia de la variedad central establece que si la función del lado derecho es (veces continuamente diferenciable), entonces en cada punto de equilibrio existe un vecindario de algún tamaño finito en el que hay al menos uno de [5]
- una única colector estable ,
- una única colector inestable ,
- y un (no necesariamente único) colector central .
En aplicaciones de ejemplo, una transformación de coordenadas no lineales a una forma normal puede separar claramente estas tres variedades. [6] Un servicio web [1] actualmente realiza el álgebra informática necesaria para una variedad de sistemas de dimensión finita.
En el caso de que no exista la variedad inestable, las variedades centrales suelen ser relevantes para el modelado. El teorema de emergencia de la variedad central dice entonces que la vecindad puede elegirse de modo que todas las soluciones del sistema que permanecen en la vecindad tienden exponencialmente rápidamente a alguna solución.en el colector central. Es decir, por alguna tasa . [7] Este teorema afirma que para una amplia variedad de condiciones iniciales, las soluciones del sistema completo decaen exponencialmente rápidamente a una solución en la variedad central de dimensiones relativamente bajas.
Un tercer teorema, el teorema de aproximación, afirma que si una expresión aproximada para tales variedades invariantes, digamos , satisface la ecuación diferencial del sistema a los residuos como , entonces la variedad invariante se aproxima por a un error del mismo orden, a saber .
Colectores centrales de D infinito y / o de sistemas no autónomos
Sin embargo, algunas aplicaciones, como la dispersión en tubos o canales, requieren un colector central de dimensión infinita. [8] La teoría más general y poderosa fue desarrollada por Aulbach y Wanner. [9] [10] [11] Abordaron sistemas dinámicos no autónomosen dimensiones infinitas, con múltiples dimensiones estables, inestables y centrales potencialmente infinitas. Además, generalizaron útilmente la definición de las variedades de modo que la variedad central esté asociada con valores propios de manera que, la variedad estable con valores propios y variedad inestable con valores propios . Demostraron la existencia de estas variedades y la aparición de una variedad central mediante transformaciones de coordenadas no lineales.
Potzsche y Rasmussen establecieron un teorema de aproximación correspondiente para tales sistemas no autónomos de dimensión infinita. [12]
Teoría alternativa al revés
Toda la teoría existente mencionada anteriormente busca establecer múltiples propiedades invariantes de un problema dado específico. En particular, se construye una variedad que se aproxima a una variedad invariante del sistema dado. Un enfoque alternativo es construir variedades invariantes exactas para un sistema que se aproxime al sistema dado, llamado teoría al revés. El objetivo es aplicar la teoría de manera útil a una gama más amplia de sistemas y estimar errores y tamaños de dominio de validez. [13] [14]
Este enfoque es afín al bien establecido análisis de errores hacia atrás en el modelado numérico.
Colector central y análisis de sistemas no lineales
Como la estabilidad del equilibrio se correlaciona con la "estabilidad" de sus variedades, la existencia de una variedad central plantea la cuestión de la dinámica en la variedad central. Esto se analiza mediante la reducción del colector central , que, en combinación con algún parámetro del sistema μ, conduce a los conceptos de bifurcaciones .
En consecuencia, dos servicios web realizan actualmente el álgebra informática necesaria para construir solo la variedad central para una amplia gama de sistemas de dimensión finita (siempre que estén en forma multinomial).
- Un servicio web [2] construye variedades lentas para sistemas que están diagonalmente diagonalizados, pero que pueden ser no autónomos o estocásticos. [15]
- Otro servicio web [3] construye colectores centrales para sistemas con linealización general, pero solo para sistemas autónomos. [dieciséis]
Ejemplos de
La entrada de Wikipedia sobre variedades lentas ofrece más ejemplos.
Un simple ejemplo
Considere el sistema
La variedad inestable en el origen es el eje y , y la variedad estable es el conjunto trivial {(0, 0)}. Cualquier órbita que no esté en la variedad estable satisface una ecuación de la formapara algunos real constante A . De ello se deduce que para cualquier A real , podemos crear una variedad central juntando la curvapara x > 0 con el eje x negativo (incluido el origen). Además, todas las variedades centrales tienen esta potencial no-unicidad, aunque a menudo la no-unicidad solo ocurre en valores complejos no físicos de las variables.
Las ecuaciones diferenciales de retardo a menudo tienen bifurcaciones de Hopf
Otro ejemplo muestra cómo un colector central modela la bifurcación de Hopf que ocurre para el parámetroen la ecuación diferencial de retardo . Estrictamente, el retraso hace que este DE tenga una dimensión infinita.
Afortunadamente, podemos aproximarnos a tales retrasos mediante el siguiente truco que mantiene la dimensionalidad finita. Definir y aproximar la variable de retraso en el tiempo, , utilizando los intermediarios y .
Para un parámetro casi crítico, , la ecuación diferencial de retardo es luego aproximada por el sistema
Copiando y pegando las entradas apropiadas, el servicio web [4] encuentra que en términos de una amplitud compleja y su complejo conjugado , el colector central
y la evolución en el colector central es
Esta evolución muestra que el origen es linealmente inestable para , pero la no linealidad cúbica luego estabiliza los ciclos límite cercanos como en la bifurcación clásica de Hopf .
Ver también
- Variedad invariante
- Colector estable
- Estructura coherente lagrangiana
- Variedad invariante normalmente hiperbólica
Notas
- ^ Roberts, AJ (1993). "La variedad invariante de deformaciones de la viga. Parte 1: la barra circular simple". J. Elas . 30 : 1-54. doi : 10.1007 / BF00041769 .
- ^ Carr, Jack (1981). Aplicaciones de la teoría de la variedad central . Ciencias Matemáticas Aplicadas. 35 . Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 978-1-4612-5929-9 . ISBN 978-0-387-90577-8.
- ^ Kelley, A. (1967). "Los colectores estable, central estable, central, central inestable e inestable" . J. Ecuaciones diferenciales . 3 (4): 546–570. Código bibliográfico : 1967JDE ..... 3..546K . doi : 10.1016 / 0022-0396 (67) 90016-2 .
- ^ Guckenheimer y Holmes (1997) , sección 3.2
- ^ Guckenheimer y Holmes (1997) , Teorema 3.2.1
- ^ Murdock, James (2003). Formas y despliegues normales para sistemas dinámicos locales . Springer-Verlag .
- ^ Iooss, G .; Adelmeyer, M. (1992). Temas de la teoría de la bifurcación . pag. 7.
- ^ Roberts, AJ (1988). "La aplicación de la teoría de la multiplicidad de centros a la evolución de sistemas que varían lentamente en el espacio" . J. Austral. Matemáticas. Soc . B. 29 (4): 480–500. doi : 10.1017 / S0334270000005968 .
- ^ Aulbach, B .; Wanner, T. (1996). "Variedades integrales para ecuaciones diferenciales tipo Caratheodory en espacios de Banach". En Aulbach, B .; Colonius, F. (eds.). Seis conferencias sobre sistemas dinámicos . Singapur: World Scientific. pp. 45 -119.
- ^ Aulbach, B .; Wanner, T. (1999). "Foliaciones invariantes para ecuaciones diferenciales de tipo Caratheodory en espacios de Banach". En Lakshmikantham, V .; Martynyuk, AA (eds.). Avances de la teoría de la estabilidad a finales del siglo XX . Gordon y Breach.
- ^ Aulbach, B .; Wanner, T. (2000). "El teorema de Hartman-Grobman para ecuaciones diferenciales de tipo Caratheodory en espacios de Banach". Análisis no lineal . 40 : 91-104. doi : 10.1016 / S0362-546X (00) 85006-3 .
- ^ Potzsche, C .; Rasmussen, M. (2006). "Aproximación de Taylor de variedades integrales". Revista de dinámica y ecuaciones diferenciales . 18 (2): 427–460. Código Bibliográfico : 2006JDDE ... 18..427P . doi : 10.1007 / s10884-006-9011-8 .
- ^ Roberts, AJ (2019). "La teoría hacia atrás apoya el modelado a través de variedades invariantes para sistemas dinámicos no autónomos". arXiv : 1804.06998 [ math.DS ].
- ^ Hochs, Peter; Roberts, AJ (2019). "Formas normales y variedades invariantes para PDE no lineales, no autónomas, vistas como EDO en infinitas dimensiones". J. Ecuaciones diferenciales . 267 (12): 7263–7312. arXiv : 1906.04420 . Código bibliográfico : 2019JDE ... 267.7263H . doi : 10.1016 / j.jde.2019.07.021 .
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Referencias
- Guckenheimer, John; Holmes, Philip (1997), Oscilaciones no lineales, sistemas dinámicos y bifurcaciones de campos vectoriales , Ciencias Matemáticas Aplicadas, 42 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90819-9, quinta impresión corregida.
enlaces externos
- Jack Carr (ed.). "Colector central" . Scholarpedia .