En comunicaciones, el criterio de Nyquist ISI describe las condiciones que, cuando son satisfechas por un canal de comunicación (incluidas las respuestas de los filtros de transmisión y recepción), no resultan en interferencias entre símbolos o ISI. Proporciona un método para construir funciones de banda limitada para superar los efectos de la interferencia entre símbolos.
Cuando se transmiten símbolos consecutivos a través de un canal mediante una modulación lineal (como ASK , QAM , etc.), la respuesta de impulso (o de forma equivalente, la respuesta de frecuencia ) del canal hace que un símbolo transmitido se extienda en el dominio del tiempo. Esto causa interferencia entre símbolos porque los símbolos transmitidos previamente afectan al símbolo recibido actualmente, reduciendo así la tolerancia al ruido . El teorema de Nyquist relaciona esta condición en el dominio del tiempo con una condición equivalente en el dominio de la frecuencia .
El criterio de Nyquist está estrechamente relacionado con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , con solo un punto de vista diferente.
Criterio de Nyquist
Si denotamos la respuesta al impulso del canal como , entonces la condición para una respuesta libre de ISI se puede expresar como:
para todos los enteros , dónde es el período del símbolo . El teorema de Nyquist dice que esto es equivalente a:
- ,
dónde es la transformada de Fourier de. Este es el criterio ISI de Nyquist.
Este criterio puede entenderse intuitivamente de la siguiente manera: réplicas de frecuencia desplazada de debe sumar un valor constante. Esta condición se cumple cuando El espectro tiene simetría uniforme, tiene un ancho de banda menor o igual a , y su banda lateral única tiene una simetría impar en la frecuencia de corte.
En la práctica, este criterio se aplica al filtrado de banda base considerando la secuencia de símbolos como impulsos ponderados ( función delta de Dirac ). Cuando los filtros de banda base en el sistema de comunicación satisfacen el criterio de Nyquist, los símbolos se pueden transmitir a través de un canal con respuesta plana dentro de una banda de frecuencia limitada, sin ISI. Ejemplos de tales filtros de banda base son el filtro de coseno elevado o el filtro sinc como el caso ideal.
Derivación
Para derivar el criterio, primero expresamos la señal recibida en términos del símbolo transmitido y la respuesta del canal. Sea la función h (t) la respuesta al impulso del canal , x [n] los símbolos a enviar, con un período de símbolo de T s ; la señal recibida y (t) tendrá la forma (donde el ruido se ha ignorado por simplicidad):
- .
Al muestrear esta señal a intervalos de T s , podemos expresar y (t) como una ecuación de tiempo discreto:
- .
Si escribimos el término h [0] de la suma por separado, podemos expresarlo como:
- ,
y de esto podemos concluir que si una respuesta h [n] satisface
- ,
sólo un símbolo transmitido tiene efecto sobre la y [k] recibida en los instantes de muestreo, eliminando así cualquier ISI. Ésta es la condición en el dominio del tiempo para un canal libre de ISI. Ahora encontramos un equivalente en el dominio de la frecuencia . Empezamos expresando esta condición en tiempo continuo:
para todo entero . Multiplicamos tal h (t) por una suma de la función delta de Dirac (impulsos)separados por intervalos T s Esto es equivalente a muestrear la respuesta como arriba pero usando una expresión de tiempo continua. El lado derecho de la condición se puede expresar como un impulso en el origen:
Fourier transformando a ambos miembros de esta relación obtenemos:
y
- .
Este es el criterio de Nyquist ISI y, si la respuesta de un canal lo satisface, entonces no hay ISI entre las diferentes muestras.
Ver también
Referencias
- John G. Proakis , " Comunicaciones digitales, tercera edición ", McGraw-Hill Book Co., 1995 . ISBN 0-07-113814-5
- Behzad Razavi , " RF Microelectronics ", Prentice-Hall, Inc., 1998 . ISBN 0-13-887571-5