La O-minimidad se puede considerar como una forma débil de eliminación de cuantificadores . Una estructura M es o-mínima si y solo si cada fórmula con una variable libre y parámetros en M es equivalente a una fórmula sin cuantificador que involucra solo el orden, también con parámetros en M. Esto es análogo a las estructuras mínimas , que son exactamente la propiedad análoga hasta la igualdad.
Una teoría T es una teoría o-mínima si todo modelo de T es o-mínimo. Se sabe que la teoría completa T de una estructura o-mínima es una teoría o-mínima. [1] Este resultado es notable porque, en contraste, la teoría completa de una estructura mínima no necesita ser una teoría fuertemente mínima , es decir, puede haber una estructura elementalmente equivalente que no es mínima.
Las estructuras mínimas pueden definirse sin recurrir a la teoría de modelos. Aquí definimos una estructura en un conjunto no vacío M de una manera teórica de conjuntos, como una secuencia S = ( S n ), n = 0,1,2, ... tal que
La "o" significa "orden", ya que cualquier estructura o-mínima requiere un orden en el conjunto subyacente.
Las estructuras O-mínimas se originaron en la teoría de modelos y, por lo tanto, tienen una definición más simple, pero equivalente, utilizando el lenguaje de la teoría de modelos. [2] Específicamente si L es un lenguaje que incluye una relación binaria <, y ( M , <, ...) es una L -estructura donde <se interpreta para satisfacer los axiomas de un orden lineal denso, [3] entonces ( M , <, ...) se llama una estructura o-mínima si para cualquier conjunto definible X ⊆ M hay un número finito de intervalos abiertos I 1 , ..., I r sin puntos finales en M ∪ {± ∞} y un conjunto finito X 0 tal que
En el caso de RCF, los conjuntos definibles son los conjuntos semialgebraicos . Así, el estudio de estructuras y teorías o-mínimas generaliza la geometría algebraica real . Una de las principales líneas de investigación actual se basa en el descubrimiento de expansiones del campo ordenado real que son mínimas. A pesar de la generalidad de la aplicación, se puede mostrar mucho sobre la geometría de conjuntos definibles en estructuras o-mínimas. Hay un teorema de descomposición celular, [6] teoremas de estratificación de Whitney y Verdier y una buena noción de dimensión y característica de Euler.