La estratificación tiene varios usos en matemáticas.
En lógica matemática
En lógica matemática , la estratificación es cualquier asignación consistente de números para predicar símbolos que garantiza que existe una interpretación formal única de una teoría lógica. Específicamente, decimos que un conjunto de cláusulas de la forma se estratifica si y solo si hay una asignación de estratificación S que cumple las siguientes condiciones:
- Si un predicado P se deriva positivamente de un predicado Q (es decir, P es el principio de una regla y Q aparece positivamente en el cuerpo de la misma regla), entonces el número de estratificación de P debe ser mayor o igual que la estratificación. número de Q, en resumen .
- Si un predicado P se deriva de un predicado negado Q (es decir, P es el principio de una regla y Q ocurre negativamente en el cuerpo de la misma regla), entonces el número de estratificación de P debe ser mayor que el número de estratificación de Q , en breve .
La noción de negación estratificada conduce a una semántica operativa muy efectiva para programas estratificados en términos del punto fijo mínimo estratificado, que se obtiene aplicando iterativamente el operador del punto fijo a cada estrato del programa, desde el más bajo hacia arriba. La estratificación no solo es útil para garantizar una interpretación única de las teorías de la cláusula de Horn .
En una teoría de conjuntos específica
En New Foundations (NF) y teorías de conjuntos relacionadas, una fórmulaen el lenguaje de la lógica de primer orden con igualdad y membresía se dice que está estratificado si y solo si hay una función que envía cada variable que aparece en (considerado como un elemento de sintaxis) a un número natural (esto funciona igualmente bien si se usan todos los números enteros) de tal manera que cualquier fórmula atómica apareciendo en satisface y cualquier fórmula atómica apareciendo en satisface .
Resulta que es suficiente requerir que estas condiciones se satisfagan solo cuando ambas variables en una fórmula atómica están ligadas en el conjunto abstracto bajo consideración. Se dice que un conjunto abstracto que satisface esta condición más débil está débilmente estratificado .
La estratificación de New Foundations se generaliza fácilmente a lenguajes con más predicados y con construcciones de términos. Cada predicado primitivo debe tener los desplazamientos requeridos especificados entre los valores deen sus argumentos (ligados) en una fórmula estratificada (débilmente). En un lenguaje con construcciones de términos, a los términos mismos se les debe asignar valores bajo, con desplazamientos fijos de los valores de cada uno de sus argumentos (ligados) en una fórmula estratificada (débilmente). Las construcciones de términos definidos se manejan pulcramente (posiblemente simplemente implícitamente) usando la teoría de descripciones: un término (la x tal que ) debe asignarse el mismo valor en como la variable x.
Una fórmula se estratifica si y solo si es posible asignar tipos a todas las variables que aparecen en la fórmula de tal manera que tenga sentido en una versión TST de la teoría de tipos descrita en el artículo New Foundations , y esto probablemente sea la mejor forma de entender la estratificación de las Nuevas Fundaciones en la práctica.
La noción de estratificación puede extenderse al cálculo lambda ; esto se encuentra en los artículos de Randall Holmes.
Una motivación para el uso de la estratificación es abordar la paradoja de Russell , la antinomia que se considera que ha socavado la obra central de Frege , Grundgesetze der Arithmetik (1902). Quine, Willard Van Orman (1963) [1961]. Desde un punto de vista lógico (2ª ed.). Nueva York: Harper & Row . pag. 90. LCCN 61-15277 .
En topología
En la teoría de la singularidad , hay un significado diferente, de una descomposición de un espacio topológico X en subconjuntos disjuntos, cada uno de los cuales es una variedad topológica (de modo que en particular una estratificación define una partición del espacio topológico). Ésta no es una noción útil cuando no está restringida; pero cuando los diversos estratos están definidos por algún conjunto reconocible de condiciones (por ejemplo, estar localmente cerrado ) y encajan de manera manejable, esta idea se aplica a menudo en geometría. Hassler Whitney y René Thom primero definieron las condiciones formales para la estratificación. Ver estratificación de Whitney y espacio topológicamente estratificado .
En estadisticas
Ver muestreo estratificado .