En la teoría de modelos, una rama de la lógica matemática , una estructura mínima es una estructura infinita de una sola ordenación, de modo que cada subconjunto de su dominio que se puede definir con parámetros es finito o cofinito . Una teoría fuertemente mínima es una teoría completa cuyos modelos son mínimos. Una estructura fuertemente mínima es una estructura cuya teoría es fuertemente mínima.
Por tanto, una estructura es mínima sólo si los subconjuntos paramétricamente definibles de su dominio no pueden evitarse, porque ya son paramétricamente definibles en el lenguaje puro de la igualdad. La minimidad fuerte fue una de las primeras nociones en el nuevo campo de la teoría de la clasificación y la teoría de la estabilidad que abrió el teorema de Morley sobre estructuras totalmente categóricas.
Los ejemplos estándar no triviales para las teorías fuertemente mínimas son las teorías unidimensionales de espacios vectoriales de dimensión infinita y las teorías ACF p de campos algebraicamente cerrados . Como muestra el ejemplo de ACF p , los subconjuntos definibles paramétricamente del cuadrado del dominio de una estructura mínima pueden ser relativamente complicados ("curvas").
De manera más general, un subconjunto de una estructura que se define como el conjunto de realizaciones de una fórmula φ ( x ) se denomina conjunto mínimo si cada subconjunto definible paramétricamente es finito o cofinito. Se denomina conjunto fuertemente mínimo si esto es cierto incluso en todas las extensiones elementales .
Un conjunto fuertemente mínimo, equipado con el operador de cierre dado por el cierre algebraico en el sentido de la teoría del modelo, es una matroide infinita, o pregeometría . Un modelo de una teoría fuertemente mínima está determinado hasta el isomorfismo por su dimensión como matroide. Las teorías totalmente categóricas están controladas por un conjunto fuertemente mínimo; este hecho explica (y se usa en la demostración) del teorema de Morley. Boris Zilber conjeturó que las únicas pregeometrías que pueden surgir de conjuntos fuertemente mínimos son las que surgen en espacios vectoriales, espacios proyectivos o campos algebraicamente cerrados. Esta conjetura fue refutada por Ehud Hrushovski, quien desarrolló un método conocido como la "construcción de Hrushovski" para construir nuevas estructuras fuertemente mínimas a partir de estructuras finitas.
Baldwin, John T .; Lachlan, Alistair H. (1971), "Sobre conjuntos fuertemente mínimos", El diario de la lógica simbólica , El diario de la lógica simbólica, vol. 36, núm. 1, 36 (1): 79–96, doi : 10.2307 / 2271517 , JSTOR 2271517