Estado de fock

Estado cuántico que es un elemento de un espacio de Fock con un número bien definido de partículas (o cuantos)

En mecánica cuántica , un estado de Fock o estado numérico es un estado cuántico que es un elemento de un espacio de Fock con un número bien definido de partículas (o cuantos ). Estos estados llevan el nombre del físico soviético Vladimir Fock . Los estados de Fock juegan un papel importante en la segunda formulación de cuantificación de la mecánica cuántica.

La representación de partículas fue tratada en detalle por primera vez por Paul Dirac para los bosones y por Pascual Jordan y Eugene Wigner para los fermiones . ^{[1] : 35} Los estados de Fock de bosones y fermiones obedecen a relaciones útiles con respecto a los operadores de creación y aniquilación del espacio de Fock .

Definición

Uno especifica un estado de múltiples partículas de N partículas idénticas que no interactúan escribiendo el estado como una suma de productos tensoriales de N estados de una sola partícula. Además, dependiendo de la integralidad del giro de las partículas , los productos del tensor deben ser productos alternos (antisimétricos) o simétricos del espacio de Hilbert de una partícula subyacente . Específicamente:

• Los fermiones , que tienen espín medio entero y obedecen el principio de exclusión de Pauli , corresponden a productos tensoriales antisimétricos.
• Los bosones que poseen espín entero (y no se rigen por el principio de exclusión) corresponden a productos tensoriales simétricos.

Si el número de partículas es variable, se construye el espacio de Fock como la suma directa de los espacios de Hilbert del producto tensorial para cada número de partículas . En el espacio de Fock, es posible especificar el mismo estado en una nueva notación, la notación del número de ocupación, especificando el número de partículas en cada posible estado de una partícula.

Sea una base ortonormal de estados en el espacio de Hilbert de una partícula subyacente. Esto induce una base correspondiente del espacio de Fock llamada "base del número de ocupación". Un estado cuántico en el espacio de Fock se denomina estado de Fock si es un elemento de la base del número de ocupación.${\textstyle \left\{\mathbf {k} _{i}\right\}_{i\in I}}$

Un estado de Fock satisface un criterio importante: para cada i , el estado es un estado propio del operador del número de partículas correspondiente al i -ésimo estado elemental k _i . El valor propio correspondiente da el número de partículas en el estado. Este criterio casi define los estados de Fock (además, se debe seleccionar un factor de fase).${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$

Un estado de Fock dado se denota por . En esta expresión, denota el número de partículas en el i-ésimo estado k _i , y el operador del número de partículas para el i-ésimo estado , actúa sobre el estado de Fock de la siguiente manera:${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{i}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$

Por tanto, el estado de Fock es un estado propio del operador numérico con valor propio . ^{[2] : 478}${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$

Los estados de Fock a menudo forman la base más conveniente de un espacio de Fock. Los elementos de un espacio de Fock que son superposiciones de estados de diferente número de partículas (y por lo tanto no son estados propios del operador numérico) no son estados de Fock. Por esta razón, no todos los elementos de un espacio Fock se denominan "estados Fock".

Si definimos el operador de número de partículas agregadas como${\textstyle {\widehat {N}}}$

${\displaystyle {\widehat {N}}=\sum _{i}{\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}},}$

la definición del estado de Fock asegura que la varianza de la medición , es decir, medir el número de partículas en un estado de Fock siempre devuelve un valor definido sin fluctuación.${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\widehat {N}}\right)=0}$

Ejemplo usando dos partículas

Para cualquier estado final , cualquier estado de Fock de dos partículas idénticas dado por , y cualquier operador , tenemos la siguiente condición de indistinguibilidad : ^{[3] : 191}${\displaystyle |f\rangle }$${\displaystyle |1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$

${\displaystyle \left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \right|^{2}=\left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \right|^{2}}$.

Entonces, debemos tener ${\displaystyle \left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =e^{i\delta }\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$

donde para bosones y de fermiones . Dado que y son arbitrarios, podemos decir, ${\displaystyle e^{i\delta }=+1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \langle f|}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =+\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$ para bosones y

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =-\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$para fermiones. ^{[3] : 191}

Tenga en cuenta que el operador numérico no distingue los bosones de los fermiones; de hecho, solo cuenta las partículas sin tener en cuenta su tipo de simetría. Para percibir cualquier diferencia entre ellos, necesitamos otros operadores, a saber, los operadores de creación y aniquilación .

Estado bosónico de Fock

Los bosones , que son partículas con espín entero, siguen una regla simple: su estado propio compuesto es simétrico ^[4] bajo la operación de un operador de intercambio . Por ejemplo, en un sistema de dos partículas en la representación del producto tensorial tenemos .${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }$

Operadores de creación y aniquilación de bosones

Deberíamos poder expresar la misma propiedad simétrica en esta nueva representación del espacio de Fock. Para esto introducimos operadores bosónicos no hermitianos de creación y aniquilación , ^[4] denotados por y respectivamente. La acción de estos operadores en un estado de Fock viene dada por las siguientes dos ecuaciones:${\displaystyle b^{\dagger }}$${\displaystyle b}$

• Operador de creación :${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^[4]

• Operador de aniquilación :${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$^[4]

Operadores de no hermiticidad de creación y aniquilación

Los operadores bosónicos de creación y aniquilación del estado de Fock no son operadores hermitianos . ^[4]

Prueba de que los operadores de creación y aniquilación no son hermitianos.

Para un estado de Fock ,${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\rangle }$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1,...\left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle &={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1,...|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1,...\right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1,...\right\rangle \right)^{*}&=\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\left|b_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}+1}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}+1...\right\rangle \end{aligned}}}$ Por lo tanto, está claro que el operador adjunto de creación (aniquilación) no entra en sí mismo. Por tanto, no son operadores hermitianos. Pero el operador adjunto de creación (aniquilación) es el operador de aniquilación (creación). [5] : 45

Identidades del operador

Las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación en un sistema bosónico son

${\displaystyle \left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\right]\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }-b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$^[4]

${\displaystyle \left[b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\right]=\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\right]=0,}$^[4]

donde está el conmutador y es el delta de Kronecker .${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

N estados de base bosónica ${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

Número de partículas (N)	Estados de base bosónica [6] : 11
0	${\displaystyle |0,0,0...\rangle }$
1	${\displaystyle |1,0,0...\rangle }$, , , ...${\displaystyle |0,1,0...\rangle }$${\displaystyle |0,0,1...\rangle }$
2	${\displaystyle |2,0,0...\rangle }$, , , ...${\displaystyle |1,1,0...\rangle }$${\displaystyle |0,2,0...\rangle }$
...	...

Acción en algunos estados fock específicos

• Para un estado de vacío, ninguna partícula está en ningún estado, expresado como , tenemos:${\displaystyle |0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle =|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...1_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

  y ,. ^[4] Es decir, el operador de creación l -ésimo crea una partícula en el estado l -ésimo k _l , y el estado de vacío es un punto fijo de operadores de aniquilación, ya que no hay partículas para aniquilar.${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{l}}|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},0_{\mathbf {k} _{3}}...0_{\mathbf {k} _{l}},...\rangle =0}$
• Podemos generar cualquier estado de Fock operando en el estado de vacío con un número apropiado de operadores de creación :

  ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}}...\rangle ={\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{1}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{1}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{1}}!}}}{\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{2}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{2}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{2}}!}}}...|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},...\rangle }$

• Para un estado Fock de modo único, expresado como ,${\displaystyle |n_{\mathbf {k} }\rangle }$
  ${\displaystyle b_{\mathbf {k} }^{\dagger }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }+1}}|n_{\mathbf {k} }+1\rangle }$ y,
  ${\displaystyle b_{\mathbf {k} }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }}}|n_{\mathbf {k} }-1\rangle }$

Acción de los operadores numéricos

Los operadores numéricos para un sistema bosónico están dados por , donde ^[4]${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$

Los operadores numéricos son operadores hermitianos.

Comportamiento simétrico de los estados bosónicos de Fock

Las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación aseguran que los estados bosónicos de Fock tengan el comportamiento simétrico apropiado bajo el intercambio de partículas. Aquí, el intercambio de partículas entre dos estados (por ejemplo, l y m ) se realiza mediante la aniquilación de una partícula en el estado de l y la creación de una en estado m . Si comenzamos con un estado de Fock y queremos cambiar una partícula de un estado a otro , entonces operamos el estado de Fock de la siguiente manera:${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$${\displaystyle k_{l}}$${\displaystyle k_{m}}$${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }b_{\mathbf {k} _{l}}}$

Usando la relación de conmutación que tenemos, ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle &=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle \end{aligned}}}$

Entonces, el estado Bosonic Fock se comporta de manera simétrica bajo la operación del operador de Exchange.

• Función Wigner de ${\displaystyle |0\rangle }$

• Función Wigner de ${\displaystyle |1\rangle }$

• Función Wigner de ${\displaystyle |2\rangle }$

• Función Wigner de ${\displaystyle |3\rangle }$

• Función Wigner de ${\displaystyle |4\rangle }$

Estado de fock fermiónico

Operadores de creación y aniquilación de fermiones

Para poder retener el comportamiento antisimétrico de los fermiones , para los estados fermiónicos de Fock introducimos operadores de creación y aniquilación de fermiones no hermitianos, ^[4] definidos para un estado fermiónico de Fock como: ^[4]${\displaystyle |\psi \rangle =|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

• El operador de creación actúa como:${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^[4]

• El operador de aniquilación actúa como:${\textstyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$

Estas dos acciones se realizan de forma antisimétrica, que discutiremos más adelante.

Identidades del operador

Las relaciones de anticonmutación de los operadores de creación y aniquilación en un sistema fermiónico son,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\dagger }\right\}\equiv c_{i}^{\,}c_{j}^{\dagger }+c_{j}^{\dagger }c_{i}^{\,}&=\delta _{ij},\\\left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\,}\right\}&=0,\end{aligned}}}$ ^[4]

donde está el anticonmutador y es el delta de Kronecker . Estas relaciones de anticonmutación se pueden utilizar para mostrar el comportamiento antisimétrico de los estados fermiónicos de Fock .${\displaystyle {\{\ ,\ \}}}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

Acción de los operadores numéricos

Los operadores numéricos para fermiones vienen dados por .${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$^[4]

Número máximo de ocupación

La acción del operador numérico, así como los operadores de creación y aniquilación, pueden parecer los mismos que los bosónicos, pero el giro real proviene del número máximo de ocupación de cada estado en el estado fermiónico de Fock. Ampliando el ejemplo fermiónico de 2 partículas anterior, primero debemos convencernos de que un estado de Fock fermiónico se obtiene aplicando una cierta suma de operadores de permutación al producto tensorial de los mercados propios de la siguiente manera:${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle =S_{-}\left|i_{1},i_{2},i_{3}...i_{l}...\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\left|i_{1}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{1}\right\rangle _{N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left|i_{N}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{N}\right\rangle _{N}\end{vmatrix}}}$^{[7] : 16}

Este determinante se denomina determinante de Slater . ^{[ cita requerida ]} Si cualquiera de los estados de una sola partícula es el mismo, dos filas del determinante de Slater serían iguales y, por lo tanto, el determinante sería cero. Por lo tanto, dos fermiones idénticos no deben ocupar el mismo estado (una declaración del principio de exclusión de Pauli ). Por lo tanto, el número de ocupación de cualquier estado individual es 0 o 1. El valor propio asociado al estado fermiónico de Fock debe ser 0 o 1.${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$

N estados de base fermiónica ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle }$

Número de partículas (N)	Estados de base fermiónica [6] : 11
0	${\displaystyle |0,0,0...\rangle }$
1	${\displaystyle |1,0,0...\rangle }$, , , ...${\displaystyle |0,1,0...\rangle }$${\displaystyle |0,0,1...\rangle }$
2	${\displaystyle |1,1,0...\rangle }$, , , ...${\displaystyle |0,1,1...\rangle }$${\displaystyle |0,1,0,1...\rangle }$${\displaystyle |1,0,1,0...\rangle }$
...	...

Acción en algunos estados fock específicos

• Para un estado de Fock fermiónico de modo único, expresado como ,${\displaystyle \left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  y , como el número máximo de ocupación de cualquier estado es 1. No más de 1 fermión puede ocupar el mismo estado, como se establece en el principio de exclusión de Pauli .${\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =0}$
• Para un estado de Fock fermiónico de modo único, expresado como ,${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  y , dado que el número de partículas no puede ser menor que cero.${\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =0}$
• Para un estado Fock fermiónico multimodo, expresado como, ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{\alpha }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},1-n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle }$,

  donde se llama la cadena Jordan-Wigner , que depende del orden de los estados de una sola partícula involucrados y de la suma de los números de ocupación del fermión de todos los estados precedentes. ^{[5] : 88}${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$

Comportamiento antisimétrico del estado de Fock fermiónico

El comportamiento antisimétrico de los estados fermiónicos bajo el operador Exchange se encarga de las relaciones anticonmutación. Aquí, el intercambio de partículas entre dos estados se realiza aniquilando una partícula en un estado y creando una en el otro. Si comenzamos con un estado de Fock y queremos cambiar una partícula de un estado a otro , entonces operamos el estado de Fock de la siguiente manera:${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$${\displaystyle k_{l}}$${\displaystyle k_{m}}$${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}}$

Usando la relación de anticonmutación tenemos

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}=-c_{\mathbf {k} _{l}}.c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle }$

pero,

$${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{{\mathbf {k} }_{l}}.c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1}}{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1...\rangle \end{aligned}}}$$

Por lo tanto, los estados fermiónicos de Fock son antisimétricos cuando los operan los operadores de intercambio de partículas.

Los estados de Fock no son autoestados energéticos en general

En la segunda teoría de cuantificación , la función de densidad hamiltoniana está dada por

${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)}$^{[3] : 189}

El hamiltoniano total está dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}}$

En la teoría libre de Schrödinger, ^{[3] : 189}

${\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

y

${\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}$

y

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$,

donde está el operador de aniquilación.${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

Solo para partículas que no interactúan y se desplazan; en general no se desplazan. Para partículas que no interactúan,${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}}$

Si no se desplazan, el hamiltoniano no tendrá la expresión anterior. Por lo tanto, en general, los estados de Fock no son estados propios de energía de un sistema.

Fluctuaciones de vacío

El estado de vacío o es el estado de menor energía y los valores esperados de y desaparecen en este estado:${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{\dagger }}$

${\displaystyle a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dagger }}$

Los campos eléctricos y magnéticos y el potencial vectorial tienen el modo de expansión de la misma forma general:

${\displaystyle F\left({\vec {r}},t\right)=\varepsilon ae^{i{\vec {k}}x-\omega t}+h\cdot c}$

Por lo tanto, es fácil ver que los valores esperados de estos operadores de campo desaparecen en el estado de vacío:

${\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0}$

Sin embargo, se puede demostrar que los valores esperados del cuadrado de estos operadores de campo son distintos de cero. Por lo tanto, hay fluctuaciones en el campo alrededor del promedio de conjunto cero. Estas fluctuaciones del vacío son responsables de muchos fenómenos interesantes, incluido el cambio de Lamb en la óptica cuántica.

Estados Fock multimodo

En un campo multimodo, cada operador de creación y aniquilación opera en su propio modo. Entonces y solo funcionará en . Dado que los operadores correspondientes a diferentes modos operan en diferentes subespacios del espacio de Hilbert, todo el campo es un producto directo de todos los modos:${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}}$${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }}$${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{l}}\right\rangle }$${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{l}}\rangle }$

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{3}}\right\rangle \ldots \equiv \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \equiv \left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

Los operadores de creación y aniquilación operan en el estado multimodo solo aumentando o disminuyendo el estado numérico de su propio modo:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle \\a_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle \end{aligned}}}$

También definimos el operador de número total para el campo, que es una suma de operadores de número de cada modo:

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }=\sum {\hat {n}}_{\mathbf {k} _{l}}}$

El estado de Fock multimodo es un vector propio del operador de número total cuyo valor propio es el número de ocupación total de todos los modos

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle =\left(\sum n_{\mathbf {k} _{l}}\right)|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle }$

En el caso de partículas que no interactúan, el operador numérico y el hamiltoniano se conmutan entre sí y, por lo tanto, los estados de Fock multimodo se convierten en estados propios del hamiltoniano multimodo.

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle =\left(\sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf {k} _{l}}+{\frac {1}{2}}\right)\right)\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

Fuente del estado de un solo fotón

Los fotones individuales se generan de forma rutinaria utilizando emisores únicos (átomos, centro de vacantes de nitrógeno , ^[8] punto cuántico ^[9] ). Sin embargo, estas fuentes no siempre son muy eficientes, a menudo presentan una baja probabilidad de obtener realmente un solo fotón bajo demanda; ya menudo complejo e inadecuado fuera de un entorno de laboratorio.

Se utilizan comúnmente otras fuentes que superan estos problemas a expensas de un comportamiento no determinista. Las fuentes de fotón único anunciadas son fuentes probabilísticas de dos fotones de las que se separa el par y la detección de un fotón presagia la presencia del restante. Estas fuentes generalmente se basan en la no linealidad óptica de algunos materiales como el niobato de litio periódicamente polarizado ( conversión descendente paramétrica espontánea ) o el silicio ( mezcla espontánea de cuatro ondas ), por ejemplo.

Comportamiento no clásico

La representación P de Glauber-Sudarshan de los estados de Fock muestra que estos estados son puramente mecánicos cuánticos y no tienen contrapartida clásica. La ^{[ aclaración necesaria ]} de estos estados en la representación es una derivada de la función delta de Dirac y, por lo tanto, no es una distribución de probabilidad clásica.${\displaystyle \scriptstyle \varphi (\alpha )\,}$${\displaystyle 2n}$

Ver también

• Estados coherentes
• Límite de Heisenberg
• Luz no clásica

Referencias

1. Friedrichs, KO (1953). Aspectos matemáticos de la teoría cuántica de campos . Editores de Interscience. ASIN  B0006ATGK4 .
2. Mandel, Wolf (1995). Coherencia óptica y óptica cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521417112.
3. Gross, Franz (1999). Mecánica cuántica relativista y teoría de campos . Wiley-VCH. ISBN 0471353868.
4. "Notas de la conferencia de mecánica cuántica 1 sobre partículas idénticas, TIFR, Mumbai" (PDF) .
5. Altland, Alexander, Simons, Ben (2006). Teoría del campo de materia condensada . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521769752.
6. Bruus, Flensberg (2003). Teoría cuántica de muchos cuerpos en la física de la materia condensada: una introducción . OUP Oxford. ISBN 0198566336.
7. Schwabl, Hilton, Lahee (2008). Mecánica cuántica avanzada . Saltador. ISBN 978-3540850618.
8. C. Kurtsiefer, S. Mayer, P. Zarda, Patrick y H. Weinfurter, (2000), "Fuente de estado sólido estable de fotones individuales", Phys. Rev. Lett. 85 (2) 290--293, doi 10.1103 / PhysRevLett.85.290
9. C. Santori, M. Pelton, G. Solomon, Y. Dale y Y. Yamamoto (2001), "Fotones individuales disparados desde un punto cuántico", Phys. Rev. Lett. 86 (8): 1502--1505 DOI 10.1103 / PhysRevLett.86.1502

enlaces externos

• Vladan Vuletic del MIT ha utilizado un conjunto de átomos para producir una fuente de estado Fock (también conocido como fotón único) (PDF)
• Produzca y mida un estado de un solo fotón (estado de Fock) con un experimento interactivo QuantumLab