En matemáticas , y en particular análisis funcional , el producto tensorial de los espacios de Hilbert es una forma de extender la construcción del producto tensorial de modo que el resultado de tomar un producto tensorial de dos espacios de Hilbert sea otro espacio de Hilbert. En términos generales, el producto tensorial es la terminación del espacio métrico del producto tensorial ordinario. Este es un ejemplo de un producto tensorial topológico . El producto tensorial permite que los espacios de Hilbert se recopilen en una categoría monoidal simétrica . [1]
Definición
Dado que los espacios de Hilbert tienen productos internos , uno quisiera introducir un producto interno, y por lo tanto una topología, sobre el producto tensorial que surge naturalmente de los de los factores. Sean H 1 y H 2 dos espacios de Hilbert con productos internos y , respectivamente. Construya el producto tensorial de H 1 y H 2 como espacios vectoriales como se explica en el artículo sobre productos tensoriales . Podemos convertir este producto tensorial de espacio vectorial en un espacio de producto interno definiendo
y extendiéndose por linealidad. Que este producto interno sea el natural se justifica mediante la identificación de mapas bilineales con valores escalares en H 1 × H 2 y funcionales lineales en su producto tensorial de espacio vectorial. Finalmente, tome la terminación debajo de este producto interno. El espacio de Hilbert resultante es el producto tensorial de H 1 y H 2 .
Construcción explícita
El producto tensorial también se puede definir sin apelar a la terminación del espacio métrico. Si H 1 y H 2 son dos espacios de Hilbert, uno se asocia a cada producto tensorial simple el operador de rango uno de a H 2 que mapea un dado como
Esto se extiende a una identificación lineal entre y el espacio de operadores de rango finito de a H 2 . Los operadores de rango finito están integrados en el espacio de Hilbert.de los operadores de Hilbert-Schmidt dea H 2 . El producto escalar en es dado por
dónde es una base ortonormal arbitraria de
Bajo la identificación anterior, se puede definir el producto del tensor de Hilbert de H 1 y H 2 , que es isométrica y linealmente isomorfo a
Propiedad universal
El producto tensorial de Hilbert se caracteriza por la siguiente propiedad universal ( Kadison y Ringrose 1997 , Teorema 2.6.4):
- Hay un mapeo débil de Hilbert-Schmidt p : H 1 × H 2 → H tal que, dado cualquier mapeo débil de Hilbert-Schmidt L : H 1 × H 2 → K a un espacio de Hilbert K , hay un operador acotado único T : H → K tal que L = Tp .
Un mapeo débilmente de Hilbert-Schmidt L : H 1 × H 2 → K se define como un mapa bilineal para el cual existe un número real d , tal que
para todos y una (por tanto, toda) base ortonormal e 1 , e 2 , ... de H 1 y f 1 , f 2 , ... de H 2 .
Como ocurre con cualquier propiedad universal, esto caracteriza al producto tensorial H de manera única, hasta el isomorfismo. La misma propiedad universal, con modificaciones obvias, también se aplica al producto tensorial de cualquier número finito de espacios de Hilbert. Es esencialmente la misma propiedad universal compartida por todas las definiciones de productos tensoriales, independientemente de los espacios que se estén censurando: esto implica que cualquier espacio con un producto tensorial es una categoría monoidal simétrica , y los espacios de Hilbert son un ejemplo particular de ello.
Productos de tensor infinito
Si es una colección de espacios Hilbert y es una colección de vectores unitarios en estos espacios de Hilbert, entonces el producto tensorial incompleto (o producto tensorial de Guichardet) es el Completar el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de vectores tensoriales simples. donde todos, excepto un número finito de los es igual al correspondiente . [2]
Álgebras de operador
Dejar ser el álgebra de von Neumann de operadores acotados en por Entonces, el producto del tensor de von Neumann de las álgebras de von Neumann es la completa terminación del conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de productos de tensor simple dónde por Esto es exactamente igual al álgebra de von Neumann de operadores acotados de A diferencia de los espacios de Hilbert, se pueden tomar infinitos productos tensoriales de álgebras de von Neumann, y para el caso C * -álgebras de operadores, sin definir estados de referencia. [2] Ésta es una ventaja del método "algebraico" en la mecánica estadística cuántica.
Propiedades
Si y tienen bases ortonormales y respectivamente, entonces es una base ortonormal para En particular, la dimensión de Hilbert del producto tensorial es el producto (como números cardinales ) de las dimensiones de Hilbert.
Ejemplos y aplicaciones
Los siguientes ejemplos muestran cómo surgen naturalmente los productos tensoriales.
Dados dos espacios de medida y , con medidas y respectivamente, uno puede mirar , el espacio de funciones en que sean cuadrados integrables con respecto a la medida del producto Si es una función cuadrada integrable en y es una función cuadrada integrable en entonces podemos definir una función en por La definición de la medida del producto asegura que todas las funciones de esta forma sean integrables al cuadrado, por lo que esto define un mapeo bilineal Combinaciones lineales de funciones de la forma también están en . Resulta que el conjunto de combinaciones lineales es de hecho denso en Si y son separables. [ cita requerida ] Esto muestra quees isomorfo a y también explica por qué necesitamos completar la construcción del producto del tensor espacial de Hilbert.
Del mismo modo, podemos demostrar que , que denota el espacio de funciones cuadradas integrables , es isomorfo a si este espacio es separable. Los mapas de isomorfismo a Podemos combinar esto con el ejemplo anterior y concluir que y son ambos isomorfos a
Los productos tensoriales de los espacios de Hilbert surgen a menudo en la mecánica cuántica . Si alguna partícula es descrita por el espacio de Hilbert y otra partícula es descrita por entonces el sistema que consta de ambas partículas se describe mediante el producto tensorial de y Por ejemplo, el espacio de estado de un oscilador armónico cuántico es por lo que el espacio de estado de dos osciladores es que es isomorfo a . Por lo tanto, el sistema de dos partículas se describe mediante funciones de onda de la formaUn ejemplo más complejo lo proporcionan los espacios de Fock , que describen un número variable de partículas.
Referencias
- ^ B. Coecke y EO Paquette, Categorías para el físico en ejercicio, en: Nuevas estructuras para la física, B. Coecke (ed.), Springer Lecture Notes in Physics, 2009. arXiv: 0905.3010
- ^ a b Bratteli, O. y Robinson, D: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics v.1, 2nd ed. , página 144. Springer-Verlag, 2002.
Bibliografía
- Kadison, Richard V .; Ringrose, John R. (1997). Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores. Vol. Yo . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 15 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-0819-1. Señor 1468229 ..
- Weidmann, Joachim (1980). Operadores lineales en espacios de Hilbert . Textos de Posgrado en Matemáticas . 68 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90427-6. Señor 0566954 ..