En matemáticas , un tensor simétrico es un tensor que es invariante bajo una permutación de sus argumentos vectoriales:
para cada permutación σ de los símbolos {1, 2, ..., r }. Alternativamente, un tensor simétrico de orden r representado en coordenadas como una cantidad con r índices satisface
El espacio de tensores simétricos de orden r en una dimensión finita espacio vectorial V es naturalmente isomorfo al dual del espacio de polinomios homogéneos de grado r en V . Más de campos de característica cero , el espacio vectorial gradual de todos los tensores simétricos se puede, naturalmente, identificado con el álgebra simétrica en V . Un concepto relacionado es el de tensor antisimétrico o forma alterna . Los tensores simétricos ocurren ampliamente en ingeniería , física y matemáticas .
Definición
Sea V un espacio vectorial y
un tensor de orden k . Entonces T es un tensor simétrico si
para los mapas de trenzado asociados a cada permutación σ en los símbolos {1,2, ..., k } (o equivalentemente para cada transposición en estos símbolos).
Dada una base { e i } de V , cualquier tensor simétrico T de rango k puede escribirse como
para una lista única de coeficientes (los componentes del tensor en la base) que son simétricos en los índices. Es decir
para cada permutación σ .
El espacio de todos los tensores simétricos de orden k definidos en V a menudo se denota por S k ( V ) o Sym k ( V ). Es en sí mismo un espacio vectorial, y si V tiene dimensión N, entonces la dimensión de Sym k ( V ) es el coeficiente binomial
Luego construimos Sym ( V ) como la suma directa de Sym k ( V ) para k = 0,1,2, ...
Ejemplos de
Hay muchos ejemplos de tensores simétricos. Algunos incluyen, el tensor métrico ,, el tensor de Einstein ,y el tensor de Ricci ,.
Muchas propiedades y campos de los materiales utilizados en física e ingeniería pueden representarse como campos tensoriales simétricos; por ejemplo: tensión , deformación y conductividad anisotrópica . Además, en la resonancia magnética de difusión, a menudo se usan tensores simétricos para describir la difusión en el cerebro u otras partes del cuerpo.
Los elipsoides son ejemplos de variedades algebraicas ; y así, para el rango general, los tensores simétricos, bajo la apariencia de polinomios homogéneos , se utilizan para definir variedades proyectivas y, a menudo, se estudian como tales.
Parte simétrica de un tensor
Suponer es un espacio vectorial sobre un campo de característica 0. Si T ∈ V ⊗ k es un tensor de orden, entonces la parte simétrica de es el tensor simétrico definido por
la suma que se extiende sobre el grupo simétrico de k símbolos. En términos de una base, y empleando la convención de suma de Einstein , si
luego
Los componentes del tensor que aparecen a la derecha a menudo se denotan por
con paréntesis () alrededor de los índices simétricamente. Los corchetes [] se utilizan para indicar antisimetrización.
Producto simétrico
Si T es un tensor simple, dado como un producto tensorial puro
entonces la parte simétrica de T es el producto simétrico de los factores:
En general, podemos convertir Sym ( V ) en un álgebra definiendo el producto conmutativo y asociativo ⊙. [1] Dados dos tensores T 1 ∈ Sym k 1 ( V ) y T 2 ∈ Sym k 2 ( V ) , usamos el operador de simetrización para definir:
Se puede verificar (como hacen Kostrikin y Manin [1] ) que el producto resultante es conmutativo y asociativo. En algunos casos se omite el operador: T 1 T 2 = T 1 ⊙ T 2 .
En algunos casos se usa una notación exponencial:
Donde v es un vector. Nuevamente, en algunos casos se omite ⊙:
Descomposición
En analogía con la teoría de matrices simétricas , un tensor simétrico (real) de orden 2 se puede "diagonalizar". Más precisamente, para cualquier tensor T ∈ Sym 2 ( V ), hay un entero r , vectores unitarios distintos de cero v 1 , ..., v r ∈ V y pesos λ 1 , ..., λ r tales que
El número mínimo r para el que tal descomposición es posible es el rango (simétrica) de T . Los vectores que aparecen en esta expresión mínima son los ejes principales del tensor y generalmente tienen un significado físico importante. Por ejemplo, los ejes principales del tensor de inercia definen el elipsoide de Poinsot que representa el momento de inercia. Consulte también la ley de inercia de Sylvester .
Para tensores simétricos de orden arbitrario k , descomposiciones
también son posibles. El número mínimo r para el que tal descomposición es posible es la simétrica rango de T . [2] Esta descomposición mínima se denomina descomposición de Waring; es una forma simétrica de la descomposición del rango tensorial . Para tensores de segundo orden, esto corresponde al rango de la matriz que representa el tensor en cualquier base, y es bien sabido que el rango máximo es igual a la dimensión del espacio vectorial subyacente. Sin embargo, para órdenes superiores, esto no es necesario: el rango puede ser más alto que el número de dimensiones en el espacio vectorial subyacente. Además, el rango y el rango simétrico de un tensor simétrico pueden diferir. [3]
Ver también
- Tensor antisimétrico
- Cálculo de Ricci
- Polinomio de Schur
- Polinomio simétrico
- Transponer
- Joven simetrizador
Notas
- ↑ a b Kostrikin, Alexei I .; Manin, Iurii Ivanovich (1997). Álgebra lineal y geometría . Álgebra, lógica y aplicaciones. 1 . Gordon y Breach. págs. 276–279. ISBN 9056990497.
- ^ Comon, P .; Golub, G .; Lim, LH; Mourrain, B. (2008). "Tensores simétricos y rango de tensor simétrico". Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones Matriciales . 30 (3): 1254. arXiv : 0802.1681 . doi : 10.1137 / 060661569 .
- ^ Shitov, Yaroslav (2018). "Un contraejemplo a la conjetura de Comon" . Revista SIAM de Álgebra Aplicada y Geometría . 2 (3): 428–443. arXiv : 1705.08740 . doi : 10.1137 / 17m1131970 . ISSN 2470-6566 .
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de las matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
- Bourbaki, Nicolas (1990), Elementos de las matemáticas, Álgebra II , Springer-Verlag, ISBN 3-540-19375-8.
- Greub, Werner Hildbert (1967), álgebra multilineal , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136, Springer-Verlag New York, Inc., Nueva York, MR 0224623.
- Sternberg, Shlomo (1983), Conferencias sobre geometría diferencial , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0.
enlaces externos
- Cesar O. Aguilar, La dimensión de los k-tensores simétricos