El espacio de Fock es una construcción algebraica utilizada en mecánica cuántica para construir el espacio de estados cuánticos de un número variable o desconocido de partículas idénticas a partir de un espacio H de Hilbert de una sola partícula . Lleva el nombre de VA Fock, quien lo introdujo por primera vez en su artículo de 1932 "Konfigurationsraum und zweite Quantelung". [1] [2]
De manera informal, un espacio de Fock es la suma de un conjunto de espacios de Hilbert que representan estados de partículas cero, estados de una partícula, estados de dos partículas, etc. Si las partículas idénticas son bosones , los n estados partícula a son vectores en un symmetrized producto tensorial de n -sola partícula Hilbert espacios H . Si las partículas idénticas son fermiones , los estados de n partículas son vectores en un producto tensor antisimetrizado de n espacios H de Hilbert de una sola partícula . (Ver álgebra simétrica y álgebra exteriorrespectivamente.) Un estado general en el espacio de Fock es una combinación lineal de estados de n partículas, uno para cada n .
Técnicamente, el espacio de Fock es (la terminación del espacio de Hilbert ) la suma directa de los tensores simétricos o antisimétricos en las potencias del tensor de un espacio de Hilbert de una sola partícula H ,
Aquí es el operador que simetriza o antisimetriza un tensor , dependiendo de si el espacio de Hilbert describe partículas que obedecen a bosónicas o fermiónico estadísticas, y la línea superior representa la finalización del espacio. El espacio de Fock bosónico (resp. Fermiónico) se puede construir alternativamente como (la terminación del espacio de Hilbert) los tensores simétricos (resp. tensores alternos ). Para cada base de H hay una base natural del espacio de Fock, afirma Fock .
Definición
El espacio de Fock es la suma directa (de Hilbert) de los productos tensoriales de copias de un espacio de Hilbert de una sola partícula
Aquí , los escalares complejos , consta de los estados correspondientes a ninguna partícula, los estados de una partícula, los estados de dos partículas idénticas, etc.
Un estado típico en es dado por
dónde
- es un vector de longitud 1, llamado estado de vacío y es un coeficiente complejo,
- es un estado en el espacio de Hilbert de una sola partícula, y es un coeficiente complejo,
- , y es un coeficiente complejo
- etc.
La convergencia de esta suma infinita es importante si es ser un espacio de Hilbert. Técnicamente requerimospara ser el espacio de Hilbert completado de la suma directa algebraica. Consiste en todas las tuplas infinitas tal que la norma , definida por el producto interno, es finita
donde el La norma de partículas se define por
es decir, la restricción de la norma sobre el producto tensorial
Para dos estados
- , y
el producto interior en entonces se define como
donde usamos los productos internos en cada uno de los -partículas de espacios de Hilbert. Tenga en cuenta que, en particular Los subespacios de partículas son ortogonales para diferentes .
Estados del producto, partículas indistinguibles y una base útil para el espacio Fock
Un estado de producto del espacio Fock es un estado de la forma
que describe una colección de partículas, una de las cuales tiene estado cuántico , otro y así sucesivamente hasta el th partícula, donde cadaes cualquier estado del espacio de Hilbert de una sola partícula. Aquí la yuxtaposición (escribiendo los kets de una sola partícula uno al lado del otro, sin el) es una multiplicación simétrica (resp. antisimétrica) en el álgebra tensorial simétrica (antisimétrica) . El estado general en un espacio de Fock es una combinación lineal de estados de productos. Un estado que no puede escribirse como una suma convexa de estados de productos se denomina estado entrelazado .
Cuando hablamos de una partícula en estado, debe tenerse en cuenta que en la mecánica cuántica las partículas idénticas son indistinguibles . En el mismo espacio de Fock, todas las partículas son idénticas. (Para describir muchas especies de partículas, tomamos el producto tensorial de tantos espacios de Fock diferentes como especies de partículas en consideración). Una de las características más poderosas de este formalismo es que los estados están implícitamente correctamente simétrizados. Por ejemplo, si el estado anterior es fermiónico, será 0 si dos (o más) de los son iguales porque el antisimétrica (exterior) producto. Esta es una formulación matemática del principio de exclusión de Pauli de que no pueden haber dos (o más) fermiones en el mismo estado cuántico. De hecho, siempre que los términos de un producto formal sean linealmente dependientes; el producto será cero para tensores antisimétricos. Además, el producto de los estados ortonormales es propiamente ortonormal por construcción (aunque posiblemente 0 en el caso de Fermi cuando dos estados son iguales).
Una base útil y conveniente para un espacio Fock es la base del número de ocupación . Dada una base de , podemos denotar el estado con partículas en estado , partículas en estado , ..., partículas en estado , y ninguna partícula en los estados restantes, definiendo
donde cada toma el valor 0 o 1 para partículas fermiónicas y 0, 1, 2, ... para partículas bosónicas. Tenga en cuenta que los ceros finales se pueden eliminar sin cambiar el estado. Tal estado se llama estado Fock . Cuando else entienden como los estados estacionarios de un campo libre, los estados de Fock describen un conjunto de partículas que no interactúan en números definidos. El estado de Fock más general es una superposición lineal de estados puros.
Dos operadores de gran importancia son los operadores de creación y aniquilación , que al actuar sobre un estado de Fock agregan o eliminan respectivamente una partícula en el estado cuántico adscrito. Se denotan para la creación y para la aniquilación respectivamente. Para crear ("agregar") una partícula, el estado cuántico es simétrico o exterior- multiplicado por ; y respectivamente para aniquilar ("eliminar") una partícula, se toma un producto interior (par o impar) con, que es el adjunto de . A menudo es conveniente trabajar con estados de base dede modo que estos operadores eliminan y agregan exactamente una partícula en el estado base dado. Estos operadores también sirven como generadores para operadores más generales que actúan en el espacio de Fock, por ejemplo, el operador numérico que da el número de partículas en un estado específico. es .
Interpretación de la función de onda
A menudo, el espacio de una partícula se da como , el espacio de funciones cuadradas integrables en un espaciocon medida (estrictamente hablando, las clases de equivalencia de funciones cuadradas integrables donde las funciones son equivalentes si difieren en un conjunto de medida cero ). El ejemplo típico es la partícula libre conel espacio de funciones cuadradas integrables en el espacio tridimensional. Los espacios de Fock tienen una interpretación natural como funciones integrables cuadradas simétricas o antisimétricas de la siguiente manera.
Dejar y , , etc. Considere el espacio de tuplas de puntos que es la unión disjunta
Tiene una medida natural tal que y la restricción de a es . El espacio uniforme de Fock luego se puede identificar con el espacio de funciones simétricas en mientras que el extraño espacio de Fock se puede identificar con el espacio de funciones antisimétricas. La identificación se deriva directamente del mapeo isométrico .
- .
Funciones de onda dadas , el determinante de Slater
es una función antisimétrica en . Por tanto, puede interpretarse naturalmente como un elemento de la-sector de partículas del extraño espacio Fock. La normalización se elige de manera que si las funciones son ortonormales. Hay un "permanente Slater" similar con el determinante reemplazado por el permanente que da elementos de-sector del espacio par Fock.
Relación con el espacio Segal-Bargmann
Definir el espacio espacial Segal-Bargmann[3] de funciones holomorfas complejasintegrables al cuadrado con respecto a una medida gaussiana :
- ,
dónde
- .
Luego definiendo un espacio como la unión anidada de los espacios sobre los enteros , Segal [4] y Bargmann demostraron [5] [6] quees isomorfo a un espacio bosónico de Fock. El monomio
corresponde al estado de Fock
Ver también
- Estado de fock
- Álgebra tensorial
- Espacio Holomorphic Fock
- Operadores de creación y aniquilación
- Determinante de Slater
- Teorema de Wick
- Geometría no conmutativa
- Gran conjunto canónico , distribución térmica sobre el espacio Fock
Referencias
- ^ V. Fock, Z. Phys . 75 (1932), 622-647
- ^ MC Reed , B. Simon , "Métodos de física matemática moderna, volumen II", Academic Press 1975. Página 328.
- ^ Bargmann, V. (1961). "Sobre un espacio de Hilbert de funciones analíticas y transformada integral I asociada". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 14 : 187–214. doi : 10.1002 / cpa.3160140303 . hdl : 10338.dmlcz / 143587 .
- ^ Segal, IE (1963). "Problemas matemáticos de la física relativista". Actas del Seminario de verano, Boulder, Colorado, 1960, vol. II . Cap. VI.
- ^ Bargmann, V (1962). "Observaciones sobre un espacio de Hilbert de funciones analíticas" . Proc. Natl. Acad. Sci . 48 (2): 199-204. Código Bibliográfico : 1962PNAS ... 48..199B . doi : 10.1073 / pnas.48.2.199 . PMC 220756 . PMID 16590920 .
- ^ Stochel, Jerzy B. (1997). "Representación de operadores generalizados de aniquilación y creación en el espacio Fock" (PDF) . Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica . 34 : 135-148 . Consultado el 13 de diciembre de 2012 .
enlaces externos
- Diagramas de Feynman y productos de Wick asociados con el espacio q-Fock - análisis no conmutativo , Edward G. Effros y Mihai Popa, Departamento de Matemáticas, UCLA
- R. Geroch, Física matemática, Chicago University Press, Capítulo 21.