En matemáticas , el plano de Cayley (o plano proyectivo octoniónico ) P 2 ( O ) es un plano proyectivo sobre los octoniones . [1] Fue descubierto en 1933 por Ruth Moufang , y lleva el nombre de Arthur Cayley (por su artículo de 1845 que describe los octoniones).
Más precisamente, hay dos objetos llamados planos Cayley, a saber, el plano Cayley real y el complejo. El plano de Cayley real es el espacio simétrico F 4 / Spin (9), donde F 4 es una forma compacta de un grupo de Lie excepcional y Spin (9) es el grupo de spin del espacio euclidiano de nueve dimensiones (realizado en F 4 ). Admite una descomposición celular en tres celdas, de dimensiones 0, 8 y 16. [2]
El plano de Cayley complejo es un espacio homogéneo bajo una forma no compacta (tipo adjunto) del grupo E 6 por un subgrupo parabólico P 1 . Es la órbita cerrada en la proyectivización de la representación mínima de E 6 . El plano de Cayley complejo consta de dos órbitas F 4 : la órbita cerrada es un cociente de F 4 por un subgrupo parabólico, la órbita abierta es el plano Cayley real. [3]
En el plano de Cayley se pueden definir líneas y puntos de forma natural para que se convierta en un espacio proyectivo bidimensional , es decir, un plano proyectivo . Es un plano no desarguesiano , donde el teorema de Desargues no es válido.