Curva paralela
Un paralelo de una curva es la envolvente de una familia de círculos congruentes centrados en la curva. Generaliza el concepto de líneas paralelas (rectas) . También se puede definir como una curva cuyos puntos están a una distancia normal constante de una curva dada. [1] Estas dos definiciones no son del todo equivalentes ya que la última asume suavidad , mientras que la primera no. [2]
En el diseño asistido por computadora, el término preferido para una curva paralela es curva desplazada . [2] [3] [4] (En otros contextos geométricos, el término desplazamiento también puede referirse a traslación . [5] ) Las curvas de desplazamiento son importantes, por ejemplo, en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen, por ejemplo, la forma del corte realizado. por una herramienta de corte redonda de una máquina de dos ejes. La forma del corte se desvía de la trayectoria del cortador por una distancia constante en la dirección normal a la trayectoria del cortador en cada punto. [6]
En el área de gráficos por computadora en 2D conocidos como gráficos vectoriales , el cálculo (aproximado) de curvas paralelas está involucrado en una de las operaciones fundamentales de dibujo, llamado trazo, que generalmente se aplica a polilíneas o polibéziers (ellos mismos llamados caminos) en ese campo. [7]
Excepto en el caso de una línea o un círculo , las curvas paralelas tienen una estructura matemática más complicada que la curva progenitora. [1] Por ejemplo, incluso si la curva del progenitor es suave , sus compensaciones pueden no serlo; esta propiedad se ilustra en la figura superior, utilizando una curva sinusoidal como curva progenitora. [2] En general, incluso si una curva es racional , sus compensaciones pueden no serlo. Por ejemplo, las compensaciones de una parábola son curvas racionales, pero las compensaciones de una elipse o de una hipérbola no son racionales, aunque estas curvas progenitoras en sí mismas sean racionales. [3]
La noción también se generaliza a las superficies 3D , donde se denomina superficie desplazada o superficie paralela . [8] Aumentar un volumen sólido en un desplazamiento de distancia (constante) a veces se denomina dilatación . [9] La operación opuesta a veces se llama bombardeo . [8] Las superficies compensadas son importantes en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen la forma del corte realizado por una fresa de punta esférica de una máquina de tres ejes. [10] Se pueden modelar matemáticamente otras formas de brocas de corte mediante superficies de compensación generales. [11]
Si hay disponible una representación paramétrica regular de la curva dada, la segunda definición de una curva paralela (s. Arriba) conduce a la siguiente representación paramétrica de la curva paralela con distancia :
