Operad

En matemáticas , un operado se ocupa de álgebras prototípicas que modelan propiedades tales como conmutatividad o anticomutatividad , así como diversas cantidades de asociatividad . Las óperas generalizan las diversas propiedades de asociatividad ya observadas en álgebras y coalgebras como las álgebras de Lie o las álgebras de Poisson modelando árboles computacionales dentro del álgebra. Las álgebras son para las operadas como las representaciones de grupo para los grupos . Una operad puede verse como un conjunto de operaciones, cada uno con un número finito fijo de entradas (argumentos) y una salida, que se pueden componer una con otras. Forman un análogo de teoría de categorías del álgebra universal . ^{[ dudoso - discutir ]}

Historia

Las óperas se originan en la topología algebraica del estudio de espacios de bucle iterado por J. Michael Boardman y Rainer M. Vogt , ^{[1] [2]} y J. Peter May . ^[3] La palabra "operad" fue creada por May como un acrónimo de "operaciones" y " mónada " (y también porque su madre era cantante de ópera). ^{[4] El} interés por las operadas se renovó considerablemente a principios de los 90 cuando, basándose en las primeras ideas de Maxim Kontsevich , Victor Ginzburg y Mikhail Kapranov descubrieron que cierta dualidadLos fenómenos en la teoría de la homotopía racional podrían explicarse utilizando la dualidad de operadas de Koszul. ^{[5] [6]} Desde entonces, los operads han encontrado muchas aplicaciones, como en la cuantificación de la deformación de las variedades de Poisson , la conjetura de Deligne , ^[7] o la homología de grafos en el trabajo de Maxim Kontsevich y Thomas Willwacher .

Definición

Operado no simétrico

Un operado no simétrico (a veces llamado operado sin permutaciones , o un operado simple o no${\displaystyle \Sigma }$ ) consiste en lo siguiente:

• una secuencia de conjuntos, cuyos elementos se denominan operaciones -ary ,${\displaystyle (P(n))_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle n}$
• un elemento de llamada identidad ,${\displaystyle 1}$${\displaystyle P(1)}$
• para todos los enteros positivos , una composición de la función${\displaystyle n}$${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\circ :P(n)\times P(k_{1})\times \cdots \times P(k_{n})&\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto \theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}),\end{aligned}}}$

satisfaciendo los siguientes axiomas de coherencia:

• identidad :${\displaystyle \theta \circ (1,\ldots ,1)=\theta =1\circ \theta }$
• asociatividad :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta \circ (\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}}),\ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}}))\\={}&(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}},\ldots ,\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}})\end{aligned}}}$

(el número de argumentos corresponde a las aridades de las operaciones).

Operado simétrico

Un operad simétrico (a menudo simplemente llamado operad ) es un operad no simétrico como el anterior, junto con una acción correcta del grupo simétrico en , que satisface los axiomas asociativos e identitarios anteriores, así como${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle P(n)}$

• equivariancia : permutaciones dadas ,${\displaystyle s_{i}\in \Sigma _{k_{i}},t\in \Sigma _{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(\theta *t)\circ (\theta _{t^{-1}1},\ldots ,\theta _{t^{-1}n})=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))*t;\\[2pt]&\theta \circ (\theta _{1}*s_{1},\ldots ,\theta _{n}*s_{n})=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))*(s_{1},\ldots ,s_{n})\end{aligned}}}$

(donde por abuso de notación , en el lado derecho de la primera relación de equivariancia está el elemento de que actúa sobre el conjunto dividiéndolo en bloques, el primero de tamaño , el segundo de tamaño , hasta el bloque de tamaño th , y luego permuta estos bloques por ).${\displaystyle t}$${\displaystyle \Sigma _{k_{1}+\dots +k_{n}}}$${\displaystyle \{1,2,\dots ,k_{1}+\dots +k_{n}\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$

Las acciones de permutación en esta definición son vitales para la mayoría de las aplicaciones, incluida la aplicación original para los espacios de bucle.

Morfismos

Un morfismo de operadas consta de una secuencia${\displaystyle f:P\to Q}$

${\displaystyle (f_{n}:P(n)\to Q(n))_{n\in \mathbb {N} }}$

ese:

• conserva la identidad: ${\displaystyle f(1)=1}$
• conserva la composición: para cada n -operación y operaciones ,${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$

${\displaystyle f(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))=f(\theta )\circ (f(\theta _{1}),\ldots ,f(\theta _{n}))}$

• preserva las acciones de permutación: .${\displaystyle f(x*s)=f(x)*s}$

Por tanto, las óperas forman una categoría denotada por .${\displaystyle {\mathsf {Oper}}}$

En otras categorias

Hasta ahora, las operadas solo se han considerado en la categoría de conjuntos. De hecho, es posible definir operados en cualquier categoría monoidal simétrica (o, para operados no simétricos, cualquier categoría monoidal ).

Un ejemplo común estaría dado por la categoría de espacios topológicos , con el producto monoidal dado por el producto cartesiano . En este caso, un operado topológico viene dado por una secuencia de espacios (en lugar de conjuntos) . Los mapas de estructura de los operados (la composición y las acciones de los grupos simétricos) deben suponerse entonces que son continuos. El resultado se denomina operado topológico . De manera similar, en la definición de un morfismo, sería necesario asumir que los mapas involucrados son continuos.${\displaystyle \{P(n)\}_{n\geq 0}}$

Otras configuraciones comunes para definir operadas incluyen, por ejemplo, módulo sobre un anillo , complejos de cadenas , agrupaciones (o incluso la propia categoría de categorías), coalgebras , etc.

Definición algebraísta

Por definición, un álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo R es un objeto monoid en la categoría monoidal de módulos más de R . Esta definición se puede ampliar para dar una definición de un operado: es decir, un operado sobre R es un objeto monoide en la categoría monoidal de endofunctores en (es una mónada ) que satisface alguna condición de finitud. ^{[nota 1]}${\displaystyle R-{\mathsf {Mod}}}$${\displaystyle (T,\gamma ,\eta )}$${\displaystyle R-{\mathsf {Mod}}}$

Por ejemplo, un objeto monoide en la categoría de functores polinomiales es un operado. ^[7] De manera similar, un operado simétrico se puede definir como un objeto monoide en la categoría de objetos . ^[8] Un objeto monoide en la categoría de especies combinatorias es un operado en conjuntos finitos. S {\displaystyle \mathbb {S} }

Un operado en el sentido anterior a veces se considera un anillo generalizado . Por ejemplo, Nikolai Durov define su anillo generalizado como un objeto monoide en la categoría monoidal de endofuctores que conmuta con colimit filtrado. ^[9] Es una generalización de un anillo, ya que cada anillo ordinario R define una mónada que envía un conjunto X a la libre R -módulo generado por X .${\displaystyle \Sigma _{R}:{\textbf {Set}}\to {\textbf {Set}}}$ R ( X ) {\displaystyle R^{(X)}}

Entendiendo los axiomas

Axioma de asociatividad

"Asociatividad" significa que la composición de las operaciones es asociativa (la función es asociativa), análoga al axioma en la teoría de categorías que ; sí no significa que las operaciones mismos son asociativos como operaciones. Compare con el operad asociativo , a continuación.${\displaystyle \circ }$${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$

La asociatividad en la teoría operada significa que se pueden escribir expresiones que involucran operaciones sin ambigüedad de las composiciones omitidas, al igual que la asociatividad para operaciones permite que los productos se escriban sin ambigüedad de los paréntesis omitidos.

Por ejemplo, si es una operación binaria, que se escribe como o . Entonces eso puede ser asociativo o no.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta (a,b)}$${\displaystyle (ab)}$${\displaystyle \theta }$

Entonces, lo que se escribe comúnmente se escribe de manera inequívoca operativamente como . Esto envía a (aplicar en los dos primeros y la identidad en el tercero), y luego el de la izquierda "multiplica" por . Esto es más claro cuando se representa como un árbol:${\displaystyle ((ab)c)}$${\displaystyle \theta \circ (\theta ,1)}$${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle (ab,c)}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle ab}$${\displaystyle c}$

que produce una operación tripartita:

Sin embargo, la expresión es a priori ambigua: podría significar , si las composiciones internas se realizan primero, o podría significar , si las composiciones externas se realizan primero (las operaciones se leen de derecha a izquierda). Escribir , esto es versus . Es decir, al árbol le faltan "paréntesis verticales":${\displaystyle (((ab)c)d)}$${\displaystyle \theta \circ ((\theta ,1)\circ ((\theta ,1),1))}$${\displaystyle (\theta \circ (\theta ,1))\circ ((\theta ,1),1)}$${\displaystyle x=\theta ,y=(\theta ,1),z=((\theta ,1),1)}$${\displaystyle x\circ (y\circ z)}$${\displaystyle (x\circ y)\circ z}$

Si las dos filas superiores de operaciones se componen primero (pone un paréntesis hacia arriba en la línea; la composición interna primero), los siguientes resultados:${\displaystyle (ab)c\ \ d}$

que luego evalúa sin ambigüedades para producir una operación 4-aria. Como expresión anotada:

${\displaystyle \theta _{(ab)c\cdot d}\circ ((\theta _{ab\cdot c},1_{d})\circ ((\theta _{a\cdot b},1_{c}),1_{d}))}$

Si las dos filas inferiores de operaciones se componen primero (pone un paréntesis hacia abajo en la línea; la composición externa primero), los siguientes resultados:${\displaystyle ab\quad c\ \ d}$

que luego evalúa sin ambigüedades para producir una operación 4-aria:

El axioma operado de asociatividad es que estos producen el mismo resultado y, por lo tanto, la expresión es inequívoca.${\displaystyle (((ab)c)d)}$

Axioma de identidad

El axioma de identidad (para una operación binaria) se puede visualizar en un árbol como:

lo que significa que las tres operaciones obtenidas son iguales: pre o postcomponer con la identidad no hace ninguna diferencia. En cuanto a categorías, es un corolario del axioma de identidad.${\displaystyle 1\circ 1=1}$

Ejemplos de

Endomorfismo operado

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k . Entonces el endomorfismo operado de V consta de ^[10]${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}=\{{\mathcal {End}}_{V}(n)\}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$= el espacio de mapas lineales ,${\displaystyle V^{\otimes n}\to V}$
2. (composición) ,${\displaystyle \gamma (f,g_{1},\dots ,g_{n}):V^{\otimes i_{1}}\otimes \cdots \otimes V^{\otimes i_{n}}{\overset {g_{1}\otimes \cdots \otimes g_{n}}{\to }}V^{\otimes n}{\overset {f}{\to }}V}$
3. (identidad) ${\displaystyle \eta :k\to {\mathcal {End}}_{V}(1),\,1\mapsto \operatorname {id} _{V},}$
4. (acción de grupo simétrico) ${\displaystyle (\gamma (f,g_{1},\dots ,g_{n}))*\sigma =f\circ g_{\sigma ^{-1}(1)}\otimes \dots \otimes g_{\sigma ^{-1}(n)},\,\sigma \in \Sigma _{n}.}$

Si es otro operado, cada morfismo operado se llama álgebra operada (observe que esto es análogo al hecho de que cada estructura de módulo R en un grupo abeliano M equivale a un homomorfismo de anillo ).${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}}$${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M)}$

Dependiendo de las aplicaciones, son posibles variaciones de lo anterior: por ejemplo, en topología algebraica, en lugar de espacios vectoriales y productos tensoriales entre ellos, se utilizan espacios topológicos (razonables) y productos cartesianos entre ellos.

Operads de "algo pequeño"

Composición ópera en los pequeños 2 discos operados .

Composición ópera en la operad de simetrías.

Unos pequeños discos operados o bolitas operadas o, más específicamente, los pequeños n-discos operados es un operado topológico definido en términos de configuraciones de discos n- dimensionales disjuntos dentro de una unidad n- disco centrada en el origen de R ⁿ . La composición operativa para pequeños 2 discos se ilustra en la figura. ^{[11] [ aclaración necesaria ]}

Originalmente, los pequeños n-cubos operados o los pequeños intervalos operados (inicialmente llamados pequeños n- cubos PROP ) fueron definidos por Michael Boardman y Rainer Vogt de una manera similar, en términos de configuraciones de hipercubos n- dimensionales alineados con ejes disjuntos (n- intervalos dimensionales ) dentro del hipercubo de la unidad . ^[12] Posteriormente se generalizó en mayo ^[13] a pequeños cuerpos convexos operados , y "pequeños discos" es un caso de "folklore" derivado de los "pequeños cuerpos convexos". ^[14]

Operado con queso suizo

El queso suizo funcionó .

El operad de queso suizo es un operad topológico de dos colores definido en términos de configuraciones de discos n- dimensionales disjuntos dentro de una unidad n- semidisco y semidiscos n -dimensionales, centrados en la base del semidisco y ubicados dentro de la unidad semidisco. La composición operativa proviene de pegar configuraciones de "pequeños" discos dentro del disco unitario en los "pequeños" discos en otra unidad semidisco y configuraciones de "pequeños" discos y semidiscos dentro de la unidad semidisco en la otra unidad semidisco.

La operación de queso suizo fue definida por Alexander A. Voronov . ^[15] Fue utilizado por Maxim Kontsevich para formular una versión de queso suizo de la conjetura de Deligne sobre la cohomología de Hochschild. ^[16] La conjetura de Kontsevich fue probada en parte por Po Hu , Igor Kriz y Alexander A. Voronov ^[17] y luego completamente por Justin Thomas . ^[18]

Operado asociativo

Otra clase de ejemplos de operadas son las que capturan las estructuras de estructuras algebraicas, como álgebras asociativas, álgebras conmutativas y álgebras de Lie. Cada uno de estos se puede exhibir como un operad presentado finitamente, en cada uno de estos tres generados por operaciones binarias.

Por lo tanto, la operación asociativa es generada por una operación binaria , sujeta a la condición de que${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi \circ (\psi ,1)=\psi \circ (1,\psi ).}$

Esta condición hace corresponden a la asociatividad de la operación binaria ; escribiendo multiplicativamente, la condición anterior es . Esta asociatividad de la operación no debe confundirse con asociatividad de composición ; ver el axioma de asociatividad , arriba.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi (a,b)}$${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$

Este operad es el terminal en la categoría de operads no simétricas, ya que tiene exactamente un n operación ary para cada n, que corresponde al producto inequívoca de n términos: . Por esta razón, los teóricos de la categoría a veces lo escriben como 1 (por analogía con el conjunto de un punto, que es terminal en la categoría de conjuntos).${\displaystyle x_{1}\dotsb x_{n}}$

Terminal simétrico operado

El operado simétrico terminal es el operado cuyas álgebras son monoides conmutativos, que también tiene una operación n -aria para cada n , y cada uno actúa trivialmente; esta trivialidad corresponde a la conmutatividad, y cuya n -operación es el producto inequívoco de n- términos, donde el orden no importa:${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle x_{1}\dotsb x_{n}=x_{\sigma (1)}\dotsb x_{\sigma (n)}}$

para cualquier permutación .${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

Operadas de los grupos simétrico y trenzado

Hay un operad para el cual cada uno viene dado por el grupo simétrico . El compuesto permuta sus entradas en bloques de acuerdo con y dentro de los bloques de acuerdo con el apropiado . Del mismo modo, hay un no operado para el que cada uno viene dado por el grupo de trenzas Artin . Además, este no operado tiene la estructura de un operado trenzado, lo que generaliza la noción de un operado de simétrico a grupos trenzados.${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \sigma \circ (\tau _{1},\dots ,\tau _{n})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau _{i}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle \Sigma }$

Álgebra lineal

En álgebra lineal , los espacios vectoriales pueden considerarse álgebras sobre el operado (la suma directa infinita , por lo que solo un número finito de términos son distintos de cero; esto corresponde a tomar solo sumas finitas), lo que parametriza combinaciones lineales : el vector, por ejemplo, corresponde a la combinación lineal${\displaystyle \mathbf {R} ^{\infty }}$${\displaystyle (2,3,-5,0,\dots )}$

${\displaystyle 2v_{1}+3v_{2}-5v_{3}+0v_{4}+\cdots .}$

De manera similar, combinaciones afines , combinaciones cónicas , y combinaciones convexas puede considerarse que corresponden a las sub-operads donde los términos de suma de 1, los términos son todos no negativo, o ambos, respectivamente. Gráficamente, estos son el hiperplano afín infinito, el hiper-octante infinito y el simplex infinito. Esto formaliza lo que se entiende por ser o el simplex estándar siendo espacios modelo, y observaciones como que cada politopo convexo acotado es la imagen de un simplex. Aquí los suboperads corresponden a operaciones más restringidas y, por lo tanto, a teorías más generales.${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

Este punto de vista formaliza la noción de que las combinaciones lineales son el tipo más general de operación en un espacio vectorial; decir que un espacio vectorial es un álgebra sobre el operado de combinaciones lineales es precisamente la afirmación de que todas las operaciones algebraicas posibles en un espacio vectorial son combinaciones lineales. Las operaciones básicas de suma vectorial y multiplicación escalar son un conjunto generador para el funcionamiento de todas las combinaciones lineales, mientras que las combinaciones lineales operadas codifican canónicamente todas las operaciones posibles en un espacio vectorial.

Operado por anillo conmutativo

El operado de anillo conmutativo es un operado cuyas álgebras son anillos conmutativos (quizás sobre algún campo base). El Koszul-dual de ella es la Mentira operada y viceversa.

Construye

Las construcciones algebraicas típicas (por ejemplo, construcción de álgebra libre) se pueden extender a operados. Sea C una categoría de módulo utilizada en la definición de un operado; por ejemplo, puede ser la categoría de -módulos para operados simétricos.${\displaystyle \mathbb {S} }$

Operado libre

Está el functor olvidadizo . El functor operad libre se define como un adjunto izquierdo al functor olvidadizo (esta es la definición habitual de functor libre ). Como un grupo o un anillo, la construcción libre permite expresar un operado en términos de generadores y relaciones. Por representación libre de un operado , nos referimos a la escritura como cociente de un operado libre generado por un módulo E : entonces E es el generador de y el núcleo de es la relación.${\displaystyle {\mathsf {Oper}}\to {\textbf {C}}}$${\displaystyle \Gamma :{\textbf {C}}\to {\mathsf {Oper}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Gamma (E)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {O}}}$

Un operado (simétrico) se llama cuadrático si tiene una presentación libre tal que es el generador y la relación está contenida en . ^[19]${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{{\mathcal {O}}(n)\}}$${\displaystyle E={\mathcal {O}}(2)}$${\displaystyle \Gamma (E)(3)}$

Operadas en la teoría de la homotopía

Esta sección necesita expansión . Puedes ayudar agregando más . ( Diciembre de 2018 )

En Stasheff (2004) ^{[ se necesita una cita completa ]} , Stasheff escribe:

Las óperas son particularmente importantes y útiles en categorías con una buena noción de "homotopía", donde juegan un papel clave en la organización de jerarquías de homotopías superiores.

Ver también

• PRO (teoría de categorías)
• Álgebra sobre un operad
• Operado de orden superior
• E∞-operado
• Pseudoálgebra
• Multicategoría

Notas

1. ”Finitud” se refiere al hecho de que solo se permite un número finito de entradas en la definición de un operado. Por ejemplo, la condición se satisface si se puede escribir

   ${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{n=1}^{\infty }T_{n}\otimes V^{\otimes n}}$,

   ${\displaystyle \gamma (V):T_{n}\otimes T_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes T_{i_{n}}\to T_{i_{1}+\dots +i_{n}}}$.

Citas

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Referencias

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enlaces externos

• operado en nLab
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html