Teorema de parada opcional

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En la teoría de la probabilidad , el teorema de parada opcional (o el teorema de muestreo opcional de Doob ) dice que, bajo ciertas condiciones, el valor esperado de una martingala en un tiempo de parada es igual a su valor esperado inicial. Dado que las martingalas se pueden usar para modelar la riqueza de un jugador que participa en un juego justo, el teorema de detención opcional dice que, en promedio, no se puede ganar nada al detener el juego según la información que se puede obtener hasta el momento (es decir, sin mirar hacia el futuro). ). Ciertas condiciones son necesarias para que este resultado sea cierto. En particular, el teorema se aplica a las estrategias de duplicación .

El teorema de parada opcional es una herramienta importante de las finanzas matemáticas en el contexto del teorema fundamental de la valoración de activos .

Sean X = ( X _t ) _{t ∈ 0${\ estilo de visualización \ mathbb {N}}$} una martingala de tiempo discreto y τ un tiempo de parada con valores en ₀ ∪ {∞ }, ambos respecto a una filtración ( F _t ) _{t ∈ 0} . Suponga que se cumple una de las siguientes tres condiciones:${\ estilo de visualización \ mathbb {N}}$ _{${\ estilo de visualización \ mathbb {N}}$}

Entonces X _τ es una variable aleatoria casi seguramente bien definida y${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}].}$

De manera similar, si el proceso estocástico X = ( X _t ) _{t ∈ 0${\ estilo de visualización \ mathbb {N}}$} es una submartingala o una supermartingala y se cumple una de las condiciones anteriores, entonces

Bajo la condición ( c ) es posible que τ = ∞ ocurra con probabilidad positiva. En este evento, X _τ se define como el límite puntual casi seguro existente de ( X _t ) _{t ∈ 0${\ estilo de visualización \ mathbb {N}}$} , vea la prueba a continuación para obtener más detalles.

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