Estabilidad orbital

En física matemática y la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , se dice que la solución de onda solitaria de la forma es orbitalmente estable si cualquier solución con los datos iniciales lo suficientemente cerca de para siempre permanece en un pequeño vecindario dado de la trayectoria de . ${\ Displaystyle u (x, t) = e ^ {- i \ omega t} \ phi (x)}$ ${\ Displaystyle \ phi (x)}$ ${\ Displaystyle e ^ {- i \ omega t} \ phi (x)}$

con un espacio de Banach encima y . Suponemos que el sistema es -invariante , de modo que para cualquiera y cualquiera . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle A: X \ a X}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {U} (1)}$ ${\ Displaystyle A (e ^ {es} u) = e ^ {es} A (u)}$ ${\ Displaystyle u \ in X}$ ${\ Displaystyle s \ in \ mathbb {R}}$

Suponga eso , por lo que es una solución para el sistema dinámico. A esta solución la llamamos ola solitaria . ${\ Displaystyle \ omega \ phi = A (\ phi)}$ ${\ Displaystyle u (t) = e ^ {- i \ omega t} \ phi}$

Decimos que la onda solitaria es orbitalmente estable si para alguna hay tal que para cualquiera con hay una solución definida para todo tal que , y tal que esta solución satisfaga ${\ Displaystyle e ^ {- i \ omega t} \ phi}$ ${\ Displaystyle \ epsilon> 0}$ ${\ Displaystyle \ delta> 0}$ ${\ Displaystyle v_ {0} \ in X}$ ${\ Displaystyle \ Vert \ phi -v_ {0} \ Vert _ {X} <\ delta}$ ${\ Displaystyle v (t)}$ $t\geq 0$ $v(0)=v_{0}$

Según ^[2] , ^[3] la solución de onda solitaria de la ecuación de Schrödinger no lineal $e^{-i\omega t}\phi _{\omega }(x)$

donde es una función uniforme de valor real, es orbitalmente estable si se satisface el criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov : $g$