En matemáticas y física , un solitón o onda solitaria es un paquete de ondas que se refuerza a sí mismo y que mantiene su forma mientras se propaga a una velocidad constante. Los solitones son causados por una cancelación de efectos dispersivos y no lineales en el medio. (Los efectos dispersivos son una propiedad de ciertos sistemas donde la velocidad de una onda depende de su frecuencia). Los solitones son las soluciones de una clase extendida de ecuaciones diferenciales parciales dispersivas débilmente no lineales que describen sistemas físicos.
El fenómeno del solitón fue descrito por primera vez en 1834 por John Scott Russell (1808-1882), quien observó una ola solitaria en el Union Canal en Escocia. Reprodujo el fenómeno en un tanque de olas y lo llamó " Ola de traslación ".
Definición
Es difícil encontrar una única definición consensuada de solitón. Drazin y Johnson (1989 , p. 15) atribuyen tres propiedades a los solitones:
- Son de forma permanente;
- Están localizados dentro de una región;
- Pueden interactuar con otros solitones y salir de la colisión sin cambios, excepto por un cambio de fase .
Existen definiciones más formales, pero requieren matemáticas sustanciales. Además, algunos científicos usan el término solitón para fenómenos que no tienen estas tres propiedades (por ejemplo, las ' balas de luz ' de la óptica no lineal a menudo se llaman solitones a pesar de perder energía durante la interacción). [1]
Explicación
La dispersión y la no linealidad pueden interactuar para producir formas de onda permanentes y localizadas . Considere un pulso de luz viajando en vidrio. Se puede pensar que este pulso consiste en luz de varias frecuencias diferentes. Dado que el vidrio muestra dispersión, estas diferentes frecuencias viajan a diferentes velocidades y, por lo tanto, la forma del pulso cambia con el tiempo. Sin embargo, también se produce el efecto Kerr no lineal ; el índice de refracción de un material a una frecuencia determinada depende de la amplitud o intensidad de la luz. Si el pulso tiene la forma correcta, el efecto Kerr cancela exactamente el efecto de dispersión y la forma del pulso no cambia con el tiempo, por lo que es un solitón. Consulte soliton (óptica) para obtener una descripción más detallada.
Muchos modelos con solución exacta tienen soluciones de solitón, incluida la ecuación de Korteweg-de Vries , la ecuación de Schrödinger no lineal , la ecuación de Schrödinger no lineal acoplada y la ecuación de seno-Gordon . Las soluciones de solitón se obtienen típicamente mediante la transformada de dispersión inversa y deben su estabilidad a la integrabilidad de las ecuaciones de campo. La teoría matemática de estas ecuaciones es un campo amplio y muy activo de investigación matemática.
Algunos tipos de mareas , un fenómeno de olas de algunos ríos, incluido el río Severn , son "ondulados": un frente de onda seguido de un tren de solitones. Otros solitones ocurren como las olas internas submarinas , iniciadas por la topografía del lecho marino , que se propagan en la picnoclina oceánica . Los solitones atmosféricos también existen, como la nube de gloria de la mañana del golfo de Carpentaria , donde los solitones de presión que viajan en una capa de inversión de temperatura producen vastas nubes de rollo lineal . El modelo de solitones reciente y no ampliamente aceptado en neurociencia propone explicar la conducción de señales dentro de las neuronas como solitones de presión.
Un solitón topológico , también llamado defecto topológico, es cualquier solución de un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que es estable frente a la desintegración de la "solución trivial". La estabilidad del solitón se debe a restricciones topológicas, más que a la integrabilidad de las ecuaciones de campo. Las restricciones surgen casi siempre porque las ecuaciones diferenciales deben obedecer un conjunto de condiciones de frontera , y la frontera tiene un grupo de homotopía no trivial , preservado por las ecuaciones diferenciales. Por tanto, las soluciones de ecuaciones diferenciales se pueden clasificar en clases de homotopía .
Ninguna transformación continua mapea una solución en una clase de homotopía a otra. Las soluciones son verdaderamente distintas y mantienen su integridad, incluso frente a fuerzas extremadamente poderosas. Ejemplos de solitones topológicos incluyen la dislocación del tornillo en una red cristalina , la cuerda de Dirac y el monopolo magnético en el electromagnetismo , el modelo Skyrmion y Wess-Zumino-Witten en la teoría cuántica de campos , el skyrmion magnético en la física de la materia condensada y las cuerdas cósmicas y paredes de dominio en cosmología .
Historia
En 1834, John Scott Russell describe su ola de traducción . [nb 1] El descubrimiento se describe aquí con las propias palabras de Scott Russell: [nb 2]
Estaba observando el movimiento de un bote que fue arrastrado rápidamente a lo largo de un canal estrecho por un par de caballos, cuando el bote se detuvo repentinamente, no así la masa de agua en el canal que había puesto en movimiento; se acumuló alrededor de la proa del barco en un estado de violenta agitación, luego de repente lo dejó atrás, rodó hacia adelante con gran velocidad, asumiendo la forma de una gran elevación solitaria, un montón de agua redondeado, liso y bien definido, que continuaba su curso a lo largo del canal aparentemente sin cambio de forma o disminución de velocidad. Lo seguí a caballo, y lo adelanté rodando todavía a una velocidad de unos trece o catorce kilómetros por hora, conservando su figura original de unos diez metros de largo y un pie a un pie y medio de altura. Su altura fue disminuyendo gradualmente, y después de una persecución de una o dos millas la perdí en las curvas del canal. Así, en el mes de agosto de 1834, fue mi primera entrevista casual con ese singular y bello fenómeno que he llamado la Ola de la Traducción. [2]
Scott Russell dedicó algún tiempo a realizar investigaciones prácticas y teóricas de estas ondas. Construyó tanques de olas en su casa y notó algunas propiedades clave:
- Las olas son estables y pueden viajar a distancias muy grandes (las olas normales tienden a aplanarse o a empinarse y volcarse)
- La velocidad depende del tamaño de la ola y su ancho de la profundidad del agua.
- A diferencia de las olas normales, nunca se fusionarán, por lo que una ola pequeña es superada por una grande, en lugar de que las dos se combinen.
- Si una ola es demasiado grande para la profundidad del agua, se divide en dos, uno grande y otro pequeño.
El trabajo experimental de Scott Russell parecía estar en desacuerdo con las teorías de la hidrodinámica de Isaac Newton y Daniel Bernoulli . George Biddell Airy y George Gabriel Stokes tuvieron dificultades para aceptar las observaciones experimentales de Scott Russell porque no podían explicarse con las teorías existentes sobre las ondas de agua. Sus contemporáneos dedicaron algún tiempo a intentar ampliar la teoría, pero pasaría hasta la década de 1870 antes de que Joseph Boussinesq [3] y Lord Rayleigh publicaran un tratamiento teórico y sus soluciones. [nb 3] En 1895 Diederik Korteweg y Gustav de Vries proporcionaron lo que ahora se conoce como la ecuación de Korteweg-de Vries , que incluía soluciones de onda solitaria y onda cnoidal periódica . [4] [nb 4]
En 1965 Norman Zabusky de Bell Labs y Martin Kruskal de la Universidad de Princeton demostraron por primera vez el comportamiento del solitón en medios sujetos a la ecuación de Korteweg-de Vries (ecuación KdV) en una investigación computacional utilizando un enfoque de diferencias finitas . También mostraron cómo este comportamiento explicaba el desconcertante trabajo anterior de Fermi, Pasta, Ulam y Tsingou . [6]
En 1967, Gardner, Greene, Kruskal y Miura descubrieron una transformada de dispersión inversa que permitía la solución analítica de la ecuación KdV. [7] El trabajo de Peter Lax sobre pares Lax y la ecuación Lax ha extendido desde entonces esto a la solución de muchos sistemas generadores de solitones relacionados.
Tenga en cuenta que los solitones, por definición, no se ven alterados en forma y velocidad por una colisión con otros solitones. [8] Entonces, las ondas solitarias en una superficie de agua están cerca de -solitones, pero no exactamente - después de la interacción de dos ondas solitarias (colisionando o adelantando), han cambiado un poco en amplitud y queda un residuo oscilatorio. [9]
Los solitones también se estudian en mecánica cuántica, gracias al hecho de que podrían proporcionar una nueva base a través del programa inconcluso de De Broglie , conocido como "Teoría de la doble solución" o "Mecánica ondulatoria no lineal". Esta teoría, desarrollada por de Broglie en 1927 y revivida en la década de 1950, es la continuación natural de sus ideas desarrolladas entre 1923 y 1926, que extendieron la dualidad onda-partícula introducida por Albert Einstein para los cuantos de luz , a todas las partículas de materia. . En 2019, investigadores de la universidad de Tel-Aviv midieron un solitón de onda de agua de gravedad superficial acelerada utilizando un potencial lineal hidrodinámico externo. También lograron excitar solitones balísticos y medir sus correspondientes fases. [10]
En fibra óptica
Se ha realizado mucha experimentación utilizando solitones en aplicaciones de fibra óptica. Los solitones en un sistema de fibra óptica se describen mediante las ecuaciones de Manakov . La estabilidad inherente de los solitones hace posible la transmisión a larga distancia sin el uso de repetidores y podría potencialmente duplicar la capacidad de transmisión también. [11]
Año | Descubrimiento |
---|---|
1973 | Akira Hasegawa de AT&T Bell Labs fue el primero en sugerir que los solitones podrían existir en las fibras ópticas , debido a un equilibrio entre la modulación de fase propia y la dispersión anómala . [12] También en 1973 Robin Bullough hizo el primer informe matemático de la existencia de solitones ópticos. También propuso la idea de un sistema de transmisión basado en solitones para aumentar el rendimiento de las telecomunicaciones ópticas . |
1987 | Emplit y col. (1987) - de las Universidades de Bruselas y Limoges - realizó la primera observación experimental de la propagación de un solitón oscuro , en una fibra óptica. |
1988 | Linn Mollenauer y su equipo transmitieron pulsos de solitón a lo largo de 4.000 kilómetros utilizando un fenómeno llamado efecto Raman , que lleva el nombre de Sir CV Raman, quien lo describió por primera vez en la década de 1920, para proporcionar ganancia óptica en la fibra. |
1991 | Un equipo de investigación de Bell Labs transmitió solitones sin errores a 2,5 gigabits por segundo durante más de 14.000 kilómetros, utilizando amplificadores de fibra óptica de erbio (segmentos empalmados de fibra óptica que contienen el elemento de tierras raras erbio). Los láseres de bombeo, acoplados a los amplificadores ópticos, activan el erbio, que energiza los pulsos de luz. |
1998 | Thierry Georges y su equipo en France Telecom R&D Center, combinando solitones ópticos de diferentes longitudes de onda ( multiplexación por división de longitud de onda ), demostraron una transmisión de datos compuestos de 1 terabit por segundo (1,000,000,000,000 unidades de información por segundo), que no debe confundirse con Terabit Ethernet. Sin embargo, los impresionantes experimentos anteriores no se han traducido en despliegues comerciales reales de sistemas de solitones, ya sea en sistemas terrestres o submarinos, principalmente debido a la fluctuación de Gordon-Haus (GH) . La fluctuación de GH requiere soluciones compensatorias sofisticadas y costosas que, en última instancia, hacen que la transmisión de solitones de multiplexación por división de longitud de onda densa (DWDM) en el campo sea poco atractiva, en comparación con el paradigma convencional de no retorno a cero / retorno a cero. Además, la probable adopción futura de los formatos QAM / modulación por desplazamiento de fase más eficientes espectralmente hace que la transmisión de solitones sea aún menos viable, debido al efecto Gordon-Mollenauer. En consecuencia, el solitón de transmisión de fibra óptica de larga distancia sigue siendo una curiosidad de laboratorio. |
2000 | Cundiff predijo la existencia de un solitón vectorial en una cavidad de fibra de birrefringencia que se bloquea de forma pasiva a través de un espejo absorbente saturable de semiconductores (SESAM). El estado de polarización de dicho solitón vectorial podría ser giratorio o bloqueado dependiendo de los parámetros de la cavidad. [13] |
2008 | DY Tang y col. observó una forma novedosa de solitón vectorial de orden superior desde la perspectiva de experimentos y simulaciones numéricas. Su grupo ha investigado diferentes tipos de solitones vectoriales y el estado de polarización de los solitones vectoriales. [14] |
En biologia
Los solitones pueden aparecer en proteínas [15] y ADN. [16] Los solitones están relacionados con el movimiento colectivo de baja frecuencia en proteínas y ADN . [17]
Un modelo desarrollado recientemente en neurociencia propone que las señales, en forma de ondas de densidad, se conducen dentro de las neuronas en forma de solitones. [18] [19] [20] Los solitones pueden describirse como una transferencia de energía casi sin pérdidas en cadenas biomoleculares o redes como propagaciones en forma de onda de perturbaciones conformacionales y electrónicas acopladas. [21]
En imanes
En los imanes, también existen diferentes tipos de solitones y otras ondas no lineales. [22] Estos solitones magnéticos son una solución exacta de ecuaciones diferenciales no lineales clásicas: ecuaciones magnéticas, por ejemplo, la ecuación de Landau-Lifshitz , el modelo continuo de Heisenberg , la ecuación de Ishimori , la ecuación de Schrödinger no lineal y otras.
En física nuclear
Los núcleos atómicos pueden exhibir un comportamiento solitónico. [23] Aquí se predice que toda la función de onda nuclear existe como un solitón bajo ciertas condiciones de temperatura y energía. Se sugiere que tales condiciones existen en los núcleos de algunas estrellas en las que los núcleos no reaccionarían, sino que se atravesarían sin cambios, reteniendo sus ondas de solitón a través de una colisión entre núcleos.
El modelo de Skyrme es un modelo de núcleos en el que cada núcleo se considera una solución de solitones topológicamente estable de una teoría de campo con un número bariónico conservado.
Biones
El estado ligado de dos solitones se conoce como bión , [24] [25] [26] o en sistemas donde el estado ligado oscila periódicamente, un respiro .
En la teoría de campo, bion generalmente se refiere a la solución del modelo Born-Infeld . El nombre parece haber sido acuñado por GW Gibbons para distinguir esta solución del solitón convencional, entendido como una solución regular , de energía finita (y generalmente estable) de una ecuación diferencial que describe algún sistema físico. [27] La palabra regular significa una solución fluida que no tiene ninguna fuente. Sin embargo, la solución del modelo Born-Infeld todavía tiene una fuente en forma de función Dirac-delta en el origen. Como consecuencia, muestra una singularidad en este punto (aunque el campo eléctrico es regular en todas partes). En algunos contextos físicos (por ejemplo, la teoría de cuerdas) esta característica puede ser importante, lo que motivó la introducción de un nombre especial para esta clase de solitones.
Por otro lado, cuando se agrega la gravedad (es decir, cuando se considera el acoplamiento del modelo de Born-Infeld a la relatividad general), la solución correspondiente se llama EBIon , donde "E" significa Einstein.
Ver también
- Compacton , un solitón con soporte compacto
- Las ondas anormales pueden ser un fenómeno relacionado con el solitón peregrino que involucra ondas respiratorias que exhiben energía localizada concentrada con propiedades no lineales. [28]
- Nematicones
- Solitón no topológico , en teoría cuántica de campos
- Ecuación de Schrödinger no lineal
- Oscillones
- Formación de patrones
- Peakon , un solitón con pico no diferenciable
- Q-ball un solitón no topológico
- Ecuación de Sine-Gordon
- Soliton (topológico)
- Distribución de solitones
- Hipótesis de solitón para un rayo en bola , por David Finkelstein
- Modelo de solitón de la propagación del impulso nervioso
- Número cuántico topológico
- Solitón vectorial
Notas
- ^ "Traducción" aquí significa que hay un transporte masivo real, aunque no es la misma agua la que es transportada de un extremo del canal al otro por esta "Ola de Traslación". Más bien, un paquete fluido adquiere impulso durante el paso de la ola solitaria y vuelve a detenerse después del paso de la ola. Pero el paquete de fluido se ha desplazado sustancialmente hacia adelante durante el proceso, debido a la deriva de Stokes en la dirección de propagación de la onda. Y el resultado es un transporte masivo neto. Por lo general, hay poco transporte de masa de un lado a otro para las olas ordinarias.
- ↑ Este pasaje se ha repetido en muchos artículos y libros sobre teoría del solitón.
- ↑ Lord Rayleigh publicó un artículo en Philosophical Magazine en 1876 para respaldar la observación experimental de John Scott Russell con su teoría matemática. En su artículo de 1876, Lord Rayleigh mencionó el nombre de Scott Russell y también admitió que el primer tratamiento teórico fue realizado por Joseph Valentin Boussinesq en 1871. Joseph Boussinesq mencionó el nombre de Russell en su artículo de 1871. Así, las observaciones de Scott Russell sobre los solitones fueron aceptadas como verdaderas por algunos científicos prominentes durante su propia vida de 1808-1882.
- ↑ Korteweg y de Vries no mencionaron en absoluto el nombre de John Scott Russell en su artículo de 1895, pero sí citaron el artículo de Boussinesq de 1871 y el artículo de Lord Rayleigh de 1876. El artículo de Korteweg y de Vries en 1895 no fue el primer tratamiento teórico de este tema, pero fue un hito muy importante en la historia del desarrollo de la teoría del solitón.
Referencias
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enlaces externos
- Relacionados John Scott Russell
- John Scott Russell y la ola solitaria
- Biografía de John Scott Russell
- Fotografía del solitón en el acueducto de Scott Russell
- Otro
- Página de solitones de Heriot – Watt University
- Solitones de Helmholtz, Universidad de Salford
- Breve reseña didáctica sobre solitones ópticos
- Colisión filmada entre dos Solitones en YouTube