Número ordinal
En la teoría de conjuntos , un número ordinal , u ordinal , es una generalización del concepto de número natural que se utiliza para describir una forma de organizar una colección (posiblemente infinita) de objetos en orden, uno tras otro. [1]
Cualquier colección finita de objetos puede ordenarse simplemente mediante el proceso de contar: etiquetar los objetos con números naturales distintos. La idea básica de los números ordinales es generalizar este proceso a colecciones posiblemente infinitas y proporcionar una "etiqueta" para cada paso del proceso. Los números ordinales son, por tanto, las "etiquetas" necesarias para organizar las colecciones de objetos en orden. [2]
Se utiliza un número ordinal para describir el tipo de orden de un conjunto bien ordenado (aunque esto no funciona para una clase adecuada bien ordenada ). Un conjunto bien ordenado es un conjunto con una relación <tal que:
Dos conjuntos bien ordenados tienen el mismo tipo de orden, si y solo si hay una biyección de un conjunto al otro que convierte la relación del primer conjunto en la relación del segundo conjunto.
Mientras que los ordinales son útiles para ordenar los objetos de una colección, son distintos de los números cardinales , que son útiles para cuantificar el número de objetos de una colección. Aunque la distinción entre ordinales y cardinales no siempre es evidente en conjuntos finitos (uno puede ir de uno a otro simplemente contando etiquetas), diferentes ordinales infinitos pueden corresponder al mismo cardinal. Además, puede haber conjuntos que no puedan ordenarse bien y sus números cardinales no se correspondan con los números ordinales. (Por ejemplo, la existencia de tales conjuntos se deriva de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con la negación del axioma de elección). Como otros tipos de números, los ordinales pueden sersumada, multiplicada y exponenciada , aunque ninguna de estas operaciones es conmutativa.
Los ordinales fueron introducidos por Georg Cantor en 1883 [3] para acomodar secuencias infinitas y clasificar conjuntos derivados , que había introducido previamente en 1872, mientras estudiaba la unicidad de las series trigonométricas . [4]
