Función de colapso ordinal
En lógica matemática y teoría de conjuntos , una función de colapso ordinal (o función de proyección ) es una técnica para definir ( notaciones para) ciertos ordinales contables grandes recursivos , cuyo principio es dar nombres a ciertos ordinales mucho más grandes que el que se está definiendo, tal vez incluso cardenales grandes (aunque se pueden reemplazar con ordinales recursivamente grandes a costa de una dificultad técnica adicional), y luego "colapsarlos" en un sistema de notaciones para el ordinal buscado. Por esta razón, las funciones colapsantes ordinales se describen como impredicativas.Forma de nombrar los ordinales.
Los detalles de la definición de funciones de colapso ordinal varían y se vuelven más complicados a medida que se definen ordinales mayores, pero la idea típica es que cada vez que el sistema de notación "se queda sin combustible" y no puede nombrar un determinado ordinal, un ordinal mucho más grande es traído "desde arriba" para dar un nombre a ese punto crítico. A continuación se detallará un ejemplo de cómo funciona esto, para una función de colapso de ordinal que define el ordinal de Bachmann-Howard (es decir, define un sistema de notaciones hasta el ordinal de Bachmann-Howard).
El uso y la definición de las funciones de colapso ordinal están inextricablemente entrelazados con la teoría del análisis ordinal , ya que los grandes ordinales contables definidos y denotados por un colapso dado se usan para describir la fuerza teórica ordinal de ciertos sistemas formales , típicamente [1] [2 ] subsistemas de análisis (como los que se ven a la luz de las matemáticas inversas ), extensiones de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek , sistemas de matemáticas constructivas al estilo de Bishop o sistemas de teoría de tipos intuicionista al estilo de Martin-Löf . ( psi )(1)
Las funciones de colapso ordinales generalmente se denotan usando alguna variación de la letra griega ( psi ) o ( theta ).
La elección de la función de colapsar ordinal que se da como ejemplo a continuación imita en gran medida el sistema introducido por Buchholz [3] pero se limita a colapsar un cardinal para mayor claridad de la exposición. Más adelante se hablará más sobre la relación entre este ejemplo y el sistema de Buchholz .
Sea el primer ordinal incontable , o, de hecho, cualquier ordinal que sea un número y se garantice que es mayor que todos los ordinales contables que se construirán (por ejemplo, el ordinal Church-Kleene es adecuado para nuestros propósitos; pero trabajaremos porque permite el uso conveniente de la palabra contable en las definiciones).
