Curva elíptica supersingular
En geometría algebraica , las curvas elípticas supersingulares forman una cierta clase de curvas elípticas sobre un campo de característica p > 0 con anillos de endomorfismo inusualmente grandes . Las curvas elípticas sobre tales campos que no son supersingulares se denominan ordinarias y estas dos clases de curvas elípticas se comportan de manera fundamentalmente diferente en muchos aspectos. Hasse (1936) descubrió curvas elípticas supersingulares durante su trabajo sobre la hipótesis de Riemann para curvas elípticas al observar que las curvas elípticas características positivas podrían tener anillos de endomorfismo de rango 4 inusualmente grande, y Deuring (1941)desarrolló su teoría básica.
El término "supersingular" no tiene nada que ver con puntos singulares de curvas , y todas las curvas elípticas supersingulares son no singulares. Proviene de la frase " valores singulares del invariante j" que se usa para los valores del invariante j para los cuales una curva elíptica compleja tiene una multiplicación compleja . Las curvas elípticas complejas con multiplicación compleja son aquellas para las que el anillo de endomorfismo tiene el rango máximo posible 2. En característica positiva es posible que el anillo de endomorfismo sea aún mayor: puede ser un orden en un álgebra de cuaternionesde dimensión 4, en cuyo caso la curva elíptica es supersingular. Los números primos p tales que cada curva elíptica supersingular en característica p puede definirse sobre el subcampo principal en lugar de se denominan números primos supersingulares .
Se han utilizado muchas formas diferentes pero equivalentes de definir curvas elípticas supersingulares. Algunas de las formas de definirlos se dan a continuación. Sea un campo con cierre algebraico y E una curva elíptica sobre K .
Para cada característica positiva solo hay un número finito de posibles j -invariantes de curvas elípticas supersingulares. Sobre un campo K algebraicamente cerrado, una curva elíptica está determinada por su invariante j , por lo que solo hay un número finito de curvas elípticas supersingulares. Si cada una de estas curvas está ponderada por 1/|Aut( E )| entonces el peso total de las curvas supersingulares es ( p –1)/24. Las curvas elípticas tienen grupos de automorfismos de orden 2 a menos que su invariante j sea 0 o 1728, por lo que las curvas elípticas supersingulares se clasifican de la siguiente manera. Existen exactamente ⌊ p /12⌋ curvas elípticas supersingulares con grupos de automorfismos de orden 2. Además si p≡3 mod 4 hay una curva elíptica supersingular (con j -invariante 1728) cuyo grupo de automorfismos es cíclico o de orden 4 a menos que p =3 en cuyo caso tiene orden 12, y si p ≡2 mod 3 hay una curva elíptica supersingular (con j -invariante 0) cuyo grupo de automorfismos es cíclico de orden 6 a menos que p = 2 en cuyo caso tiene orden 24.
Birch y Kuyk (1975) dan una tabla de todas las j -invariantes de curvas supersingulares para primos hasta 307. Para los primeros primos, las curvas elípticas supersingulares se dan de la siguiente manera. El número de valores supersingulares de j distintos de 0 o 1728 es la parte entera de (p−1)/12.