En matemáticas , un álgebra de cuaterniones sobre un campo F es una central simple álgebra A sobre F [1] [2] que tiene dimensión 4 sobre F . Cada álgebra de cuaternión se convierte en un álgebra matricial al extender escalares (equivalentemente, tensor con una extensión de campo), es decir, para una extensión de campo adecuada K de F ,es isomorfo al 2 × 2 álgebra de matrices sobre K .
La noción de un álgebra de cuaterniones puede verse como una generalización de los cuaterniones de Hamilton a un campo base arbitrario . Los cuaterniones de Hamilton son un álgebra de cuaterniones (en el sentido anterior) sobre(el campo del número real ), y de hecho el único sobreaparte del álgebra matricial real 2 × 2 , hasta el isomorfismo . Cuándo, Entonces los biquaternions forman el álgebra de cuaterniones sobre F .
Estructura
El álgebra de cuaterniones aquí significa algo más general que el álgebra de los cuaterniones de Hamilton . Cuando el campo coeficiente F no tiene característica 2, cada álgebra de cuaterniones sobre F puede ser descrito como un 4-dimensional F - espacio vectorial con base, con las siguientes reglas de multiplicación:
donde un y b son cualquier dado distinto de cero elementos de F . De estas reglas obtenemos:
Los casos clásicos donde son los cuaterniones de Hamilton ( a = b = −1) y los cuaterniones divididos ( a = −1, b = +1). En cuaterniones divididos, y , a diferencia de las ecuaciones de Hamilton.
El álgebra definida de esta manera se denota ( a , b ) F o simplemente ( a , b ). [3] Cuando F tiene la característica 2, también es posible una descripción explícita diferente en términos de una base de 4 elementos, pero en cualquier caso, la definición de un álgebra de cuaterniones sobre F como un álgebra simple central de 4 dimensiones sobre F se aplica uniformemente en todas las caracteristicas.
Un álgebra de cuaternión ( a , b ) F es un álgebra de división o isomorfa al álgebra de matrices de matrices 2 × 2 sobre F ; el último caso se denomina split . [4] La forma de la norma
define una estructura de álgebra de división si y solo si la norma es una forma cuadrática anisotrópica , es decir, cero solo en el elemento cero. La cónica C ( a , b ) definida por
tiene un punto ( x , y , z ) con coordenadas en F en el caso dividido. [5]
Solicitud
Las álgebras de cuaterniones se aplican en la teoría de números , particularmente a las formas cuadráticas . Son estructuras de hormigón que generan los elementos de orden dos en el grupo de Brauer de F . Para algunos campos, incluidos los campos numéricos algebraicos, cada elemento de orden 2 en su grupo Brauer está representado por un álgebra de cuaterniones. Un teorema de Alexander Merkurjev implica que cada elemento de orden 2 en el grupo de Brauer de cualquier campo está representado por un producto tensorial de álgebras de cuaterniones. [6] En particular, sobre campos p -ádicos, la construcción de álgebras de cuaterniones puede verse como el símbolo cuadrático de Hilbert de la teoría de campos de clases locales .
Clasificación
Es un teorema de Frobenius que solo hay dos álgebras de cuaterniones reales: matrices 2 × 2 sobre los reales y los cuaterniones reales de Hamilton.
De manera similar, sobre cualquier campo local F hay exactamente dos álgebras de cuaterniones: las matrices 2 × 2 sobre F y un álgebra de división. Pero el álgebra de división de cuaterniones sobre un campo local no suele ser los cuaterniones de Hamilton sobre el campo. Por ejemplo, sobre los números p -ádicos, los cuaterniones de Hamilton son un álgebra de división solo cuando p es 2. Para p primos impares , los cuaterniones p -ádicos de Hamilton son isomorfos a las matrices 2 × 2 sobre los p -ádicos. Para ver que los cuaterniones p -ádicos de Hamilton no son un álgebra de división para primos impares p , observe que la congruencia x 2 + y 2 = −1 mod p se puede resolver y, por lo tanto, según el lema de Hensel - aquí es donde se necesita p siendo impar - el ecuación
- x 2 + y 2 = −1
se puede resolver en los números p -ádicos. Por lo tanto, el cuaternión
- xi + yj + k
tiene la norma 0 y por lo tanto no tiene un inverso multiplicativo .
Una forma de clasificar las clases de isomorfismo de álgebra F de todas las álgebras de cuaterniones para un campo determinado, F , es utilizar la correspondencia uno a uno entre las clases de isomorfismo de álgebras de cuaternión sobre F y las clases de isomorfismo de sus formas normativas .
A cada álgebra A cuaterniónica , se le puede asociar una forma cuadrática N (llamada forma norma ) en A tal que
para todos los x y y en A . Resulta que las posibles formas normativas para cuaterniones F -álgebras son exactamente las formas 2 de Pfister .
Álgebras de cuaterniones sobre los números racionales
Las álgebras de cuaterniones sobre los números racionales tienen una teoría aritmética similar, pero más complicada, a la de las extensiones cuadráticas de .
Dejar ser un álgebra de cuaternión sobre y deja ser un lugar de, con finalización (por lo que son los números p -ádicospara algunos primos p o los números reales). Definir, que es un álgebra de cuaternión sobre . Entonces hay dos opciones para: las matrices de 2 por 2 sobre o un álgebra de división .
Nosotros decimos eso está dividido (o sin ramificar ) en Si es isomorfo a las matrices 2 × 2 sobre . Decimos que B no está dividido (o ramificado ) en Si es el álgebra de división de cuaterniones sobre . Por ejemplo, los cuaterniones racionales de Hamilton no se dividen en 2 y eny dividir en todos los primos impares. Las matrices racionales de 2 por 2 se dividen en todos los lugares.
Un álgebra de cuaternión sobre los racionales que se divide en es análogo a un campo cuadrático real y uno que no está dividido enes análogo a un campo cuadrático imaginario. La analogía proviene de un campo cuadrático que tiene incrustaciones reales cuando el polinomio mínimo de un generador se divide sobre los reales y, de lo contrario, tiene incrustaciones no reales. Una ilustración de la fuerza de esta analogía concierne a los grupos unitarios en un orden de un álgebra de cuaterniones racional: es infinito si el álgebra de cuaterniones se divide en[ cita requerida ] y es finito en caso contrario [ cita requerida ] , al igual que el grupo unitario de un orden en un anillo cuadrático es infinito en el caso cuadrático real y finito en caso contrario.
El número de lugares donde se ramifica un álgebra de cuaternión sobre los racionales es siempre par, y esto equivale a la ley de reciprocidad cuadrática sobre los racionales. Además, los lugares donde B se ramifica determina B hasta el isomorfismo como álgebra. (En otras palabras, las álgebra cuaternión no isomorfos más de los racionales no comparten el mismo conjunto de lugares ramificadas.) El producto de los números primos en la que B se ramifica se llama el discriminante de B .
Ver también
- Álgebra de composición
- Álgebra cíclica
- Álgebra de octonion
- Orden de cuaternión de Hurwitz
- Cuaternión de Hurwitz
Notas
- ^ Ver Pierce. Álgebras asociativas. Saltador. Lema en la página 14.
- ^ Ver Milies y Sehgal, Introducción a los anillos de grupo, ejercicio 17, capítulo 2.
- ^ Gille y Szamuely (2006) p.2
- ^ Gille y Szamuely (2006) p.3
- ^ Gille y Szamuely (2006) p.7
- ^ Lam (2005) p.139
Referencias
- Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras simples centrales y cohomología de Galois . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 101 . Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017 / CBO9780511607219 . ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 .
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 67 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-1095-2. Señor 2104929 . Zbl 1068.11023 .
Otras lecturas
- Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). El libro de las involuciones . Publicaciones del coloquio. 44 . Con prefacio de J. Tits. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0904-0. Señor 1632779 . Zbl 0955.16001 .
- Maclachlan, Colin; Ried, Alan W. (2003). La aritmética de los 3 distribuidores hiperbólicos . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4757-6720-9 . ISBN 0-387-98386-4. Señor 1937957 . Consulte el capítulo 2 (Cuaterniones de álgebras I) y el capítulo 7 (Cuaterniones de álgebras II).
- Chisholm, Hugh, ed. (1911). . Encyclopædia Britannica (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.( Ver sección sobre cuaterniones ) .
- Álgebra de cuaternión en Encyclopedia of Mathematics .