En matemáticas , un orden en el sentido de la teoría de anillos es un subanillo de un anillo , tal que
- es un álgebra de dimensión finita sobre el campo de números racionales
- tramos encima , y
- es un - celosía en.
Las dos últimas condiciones pueden expresarse en términos menos formales: Además, es un grupo abeliano libre generado por una base para encima .
Más generalmente para un dominio integral contenido en un campo , definimos ser un -orden en un -álgebra si es un subanillo de que es un completo -enrejado. [1]
Cuándo no es un anillo conmutativo , la idea de orden sigue siendo importante, pero los fenómenos son diferentes. Por ejemplo, los cuaterniones de Hurwitz forman un orden máximo en los cuaterniones con coordenadas racionales; no son los cuaterniones con coordenadas enteras en el sentido más obvio. Los órdenes máximos existen en general, pero no tienen por qué ser únicos: en general, no hay un orden mayor, sino una serie de órdenes máximas. Una clase importante de ejemplos es la de los anillos de grupos integrales .
Ejemplos de
Algunos ejemplos de pedidos son: [2]
- Si es el anillo de la matriz encima , luego el anillo de matriz encima es un -mandar entrar
- Si es un dominio integral y una extensión separable finita de, luego el cierre integral de en es un -mandar entrar .
- Si en es un elemento integral sobre, luego el anillo polinomial es un -orden en el álgebra
- Si es el anillo del grupo de un grupo finito , luego es un -ordenar en
Una propiedad fundamental de -orders es que cada elemento de un -orden es integral sobre. [3]
Si el cierre integral de en es un -orden, entonces este resultado muestra que debe ser la [ aclaración necesaria ] máxima-mandar entrar . Sin embargo, esta hipótesis no siempre se cumple: de hecho ni siquiera necesita ser un anillo, e incluso si es un anillo (por ejemplo, cuando es conmutativo) entonces no necesita ser un -enrejado. [3]
Teoría algebraica de números
El ejemplo principal es el caso donde es un campo numérico y es su anillo de enteros . En la teoría algebraica de números hay ejemplos para cualquieraparte del campo racional de subanillos propios del anillo de enteros que también son órdenes. Por ejemplo, en la extensión de campode los racionales gaussianos sobre, el cierre integral de es el anillo de los enteros gaussianos y entonces este es el único máximo -orden: todos los demás pedidos en están contenidos en él. Por ejemplo, podemos tomar el subanillo de los números complejos en la forma, con y enteros. [4]
La cuestión del orden máximo se puede examinar a nivel de campo local . Esta técnica se aplica en la teoría algebraica de números y la teoría de la representación modular .
Ver también
- Orden de cuaternión de Hurwitz : un ejemplo de orden de anillo
Notas
Referencias
- Pohst, M .; Zassenhaus, H. (1989). Teoría algorítmica de números algebraicos . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. 30 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-33060-2. Zbl 0685.12001 .
- Reiner, I. (2003). Órdenes máximas . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Series nuevas. 28 . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008 .