En álgebra lineal , la ortogonalización es el proceso de encontrar un conjunto de vectores ortogonales que abarcan un subespacio particular . Formalmente, comenzando con un conjunto de vectores linealmente independientes { v 1 , ..., v k } en un espacio de producto interno (más comúnmente el espacio euclidiano R n ), la ortogonalización da como resultado un conjunto de vectores ortogonales { u 1 , .. ., u k } que generan el mismo subespacio que los vectores v 1, ..., v k . Cada vector del nuevo conjunto es ortogonal a todos los demás vectores del nuevo conjunto; y el nuevo conjunto y el conjunto antiguo tienen el mismo tramo lineal .
Además, si queremos que todos los vectores resultantes sean vectores unitarios , normalizamos cada vector y el procedimiento se denomina ortonormalización .
La ortogonalización también es posible con respecto a cualquier forma bilineal simétrica (no necesariamente un producto interno, no necesariamente sobre números reales ), pero los algoritmos estándar pueden encontrar división por cero en esta configuración más general.
Algoritmos de ortogonalización
Los métodos para realizar la ortogonalización incluyen:
- Proceso de Gram-Schmidt , que utiliza proyección
- Transformación de cabeza de familia , que utiliza la reflexión
- Rotación de Givens
- Ortogonalización simétrica, que utiliza la descomposición de valores singulares
Cuando se realiza la ortogonalización en una computadora, generalmente se prefiere la transformación Householder al proceso de Gram-Schmidt, ya que es más estable numéricamente , es decir, los errores de redondeo tienden a tener efectos menos graves.
Por otro lado, el proceso de Gram-Schmidt produce el j-ésimo vector ortogonalizado después de la j-ésima iteración, mientras que la ortogonalización usando reflexiones de Householder produce todos los vectores sólo al final. Esto hace que solo el proceso de Gram-Schmidt sea aplicable para métodos iterativos como la iteración de Arnoldi .
La rotación de Givens se paraleliza más fácilmente que las transformaciones de Jefe de hogar.
La ortogonalización simétrica fue formulada por Per-Olov Löwdin . [1]
Ortogonalización local
Para compensar la pérdida de señal útil en los enfoques tradicionales de atenuación de ruido debido a la selección incorrecta de parámetros o la insuficiencia de los supuestos de eliminación de ruido, se puede aplicar un operador de ponderación en la sección inicialmente eliminada para recuperar la señal útil de la sección de ruido inicial. El nuevo proceso de eliminación de ruido se denomina ortogonalización local de la señal y el ruido. [2] Tiene una amplia gama de aplicaciones en muchos campos de procesamiento de señales y exploración sísmica.
Ver también
Referencias
- ^ Löwdin, Per-Olov (1970). "Sobre el problema de la no ortogonalidad" . Avances en química cuántica . 5 . Elsevier. págs. 185-199.
- ^ Chen, Yangkang; Fomel, Sergey (2015). "Atenuación de ruido aleatorio mediante ortogonalización de señal y ruido local". Geofísica . 80 (6): WD1 – WD9. doi : 10.1190 / GEO2014-0227.1 .