En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una base ortogonal para un espacio de producto interno V es una base para V cuyos vectores son mutuamente ortogonales . Si los vectores de base ortogonal están normalizados , la base resultante es una base ortonormal .
Como coordenadas
Cualquier base ortogonal se puede utilizar para definir un sistema de coordenadas ortogonal V . Las bases ortogonales (no necesariamente ortonormales) son importantes debido a su aparición a partir de coordenadas ortogonales curvilíneas en espacios euclidianos , así como en variedades riemannianas y pseudo-riemannianas .
En análisis funcional
En el análisis funcional , una base ortogonal es cualquier base obtenida de una base ortonormal (o base de Hilbert) mediante la multiplicación por escalares distintos de cero .
Extensiones
El concepto de un ortogonal (pero no de una ortonormal) base es aplicable a un espacio vectorial V (sobre cualquier campo ) equipado con una forma bilineal simétrica ⟨⋅, ⋅⟩ , donde ortogonalidad de dos vectores v y w medios ⟨ v , w ⟩ = 0 . Para una base ortogonal { e k } :
donde q es un forma cuadrática asociada con ⟨⋅, ⋅⟩ : q ( v ) = ⟨ v , v ⟩ (en un espacio con producto interno q ( v ) = | v | 2 ).
Por tanto, para una base ortogonal { e k } ,
donde v k y w k son componentes de v y w en la base.
Referencias
- Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Cuarta impresión corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
- Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer-Verlag . pag. 6. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .