En física , el oscilador de Toda es un tipo especial de oscilador no lineal . Representa una cadena de partículas con interacción potencial exponencial entre vecinos. [1] Estos conceptos llevan el nombre de Morikazu Toda . El oscilador Toda se utiliza como modelo simple para comprender el fenómeno de la autopulsación , que es una pulsación cuasi periódica de la intensidad de salida de un láser de estado sólido en régimen transitorio .
Definición
El oscilador Toda es un sistema dinámico de cualquier origen, que se puede describir con coordenadas dependientes y coordenada independiente , caracterizado porque la evolución a lo largo de coordenadas independientes se puede aproximar con la ecuación
dónde , y prima denota la derivada.
Significado físico
La coordenada independiente tiene sentido del tiempo . De hecho, puede ser proporcional al tiempo con alguna relación como , dónde es constante.
La derivada puede tener sentido de la velocidad de la partícula con coordenadas; luegopuede interpretarse como aceleración ; y la masa de tal partícula es igual a la unidad.
La función disipativa puede tener sentido del coeficiente de fricción proporcional a la velocidad .
Por lo general, ambos parámetros y se supone que son positivos; entonces este coeficiente de fricción proporcional a la velocidad crece exponencialmente a grandes valores positivos de coordenada.
El potencial es una función fija, que también muestra un crecimiento exponencial en grandes valores positivos de coordenadas.
En la aplicación en física láser ,puede tener un sentido del logaritmo del número de fotones en la cavidad del láser , relacionado con su valor de estado estable. Entonces, la potencia de salida de dicho láser es proporcional ay puede mostrar pulsaciones en la oscilación de.
Ambas analogías, con una partícula de masa unitaria y un logaritmo del número de fotones, son útiles en el análisis del comportamiento del oscilador de Toda.
Energía
Rigurosamente, la oscilación es periódica solo en . De hecho, en la realización del oscilador de Toda como un láser autopulsante, estos parámetros pueden tener valores del orden de; durante varios pulsos, la amplitud de la pulsación no cambia mucho. En este caso, podemos hablar del período de pulsación, ya que la función es casi periódico.
En el caso , la energía del oscilador no depende de y puede tratarse como una constante de movimiento. Luego, durante un período de pulsación, la relación entre y se puede expresar analíticamente: [2] [3]
dónde y son valores mínimos y máximos de ; esta solución está escrita para el caso cuando.
sin embargo, se pueden obtener otras soluciones utilizando el principio de invariancia traslacional .
El radio es un parámetro conveniente para caracterizar la amplitud de pulsación. Usando esto, podemos expresar el valor mediano como ; y la energia es también una función elemental de .
En aplicación, la cantidad no necesita ser la energía física del sistema; en estos casos, esta cantidad adimensional se puede llamar cuasienergía .
Periodo de pulsación
El período de pulsación es una función creciente de la amplitud. .
Cuándo , el período
Cuándo , el período
En toda la gama , el período y frecuencia puede ser aproximado por
a al menos 8 cifras significativas . El error relativo de esta aproximación no excede.
Decaimiento de la pulsación
A valores pequeños (pero todavía positivos) de y , la pulsación decae lentamente, y esta caída puede describirse analíticamente. En la primera aproximación, los parámetros y dar contribuciones aditivas a la descomposición; la tasa de caída, así como la amplitud y la fase de la oscilación no lineal, se pueden aproximar con funciones elementales de una manera similar al período anterior. Al describir el comportamiento del oscilador Toda idealizado, el error de tales aproximaciones es menor que las diferencias entre el ideal y su realización experimental como un láser autopulsante en el banco óptico . Sin embargo, un láser autopulsante muestra un comportamiento cualitativamente muy similar. [3]
Límite continuo
Las ecuaciones de movimiento de la cadena de Toda , en el límite continuo en el que la distancia entre vecinos llega a cero, se convierten en la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV). [1] Aquí, el índice que etiqueta la partícula en la cadena se convierte en la nueva coordenada espacial.
Por el contrario, la teoría del campo de Toda se logra mediante la introducción de una nueva coordenada espacial que es independiente de la etiqueta del índice de la cadena. Esto se hace de una manera relativista invariante, de modo que el tiempo y el espacio se tratan por igual. [4] Esto significa que la teoría del campo de Toda no es un límite continuo de la cadena de Toda.
Referencias
- ↑ a b Toda, M. (1975). "Estudios de una celosía no lineal". Informes de física . 18 (1): 1. Bibcode : 1975PhR .... 18 .... 1T . doi : 10.1016 / 0370-1573 (75) 90018-6 .
- ^ Oppo, GL; Politi, A. (1985). "Toda la potencialidad en ecuaciones láser". Zeitschrift für Physik B . 59 (1): 111-115. Código bibliográfico : 1985ZPhyB..59..111O . doi : 10.1007 / BF01325388 . S2CID 119657810 .
- ^ a b Kouznetsov, D .; Bisson, J.-F .; Li, J .; Ueda, K. (2007). "Láser autopulsante como oscilador de Toda: Aproximación a través de funciones elementales". Journal of Physics A . 40 (9): 1–18. Código Bibliográfico : 2007JPhA ... 40.2107K . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 40/9/016 .
- ^ Kashaev, R.-M .; Reshetikhin, N. (1997). "Teoría de campo afín de Toda como un sistema integrable tridimensional". Comunicaciones en Física Matemática . 188 (2): 251–266. arXiv : hep-th / 9507065 . Código Bibliográfico : 1997CMaPh.188..251K . doi : 10.1007 / s002200050164 . S2CID 17196702 .