La celosía de Toda , introducida por Morikazu Toda ( 1967 ), es un modelo simple para un cristal unidimensional en la física del estado sólido . Es famoso porque es uno de los primeros ejemplos de un sistema no lineal completamente integrable .
Viene dado por una cadena de partículas con la interacción del vecino más cercano, descrita por el Hamiltoniano
y las ecuaciones de movimiento
dónde es el desplazamiento de la -ésima partícula desde su posición de equilibrio,
y es su impulso (masa ),
y el potencial de Toda .
Soluciones soliton
Las soluciones de solitón son ondas solitarias que se propagan en el tiempo sin cambios en su forma y tamaño, e interactúan entre sí de manera similar a una partícula. La solución general de N-solitones de la ecuación es
dónde
con
dónde y .
Integrabilidad
La celosía Toda es un ejemplo prototípico de un sistema completamente integrable . Para ver este usa las variables de Flaschka
tal que el enrejado de Toda lee
Para demostrar que el sistema es completamente integrable, basta con encontrar un par Lax, es decir, dos operadores L (t) y P (t) en el espacio de Hilbert de sucesiones cuadradas sumables tal que la ecuación Lax
(donde [ L , P ] = LP - PL es el conmutador de Lie de los dos operadores) es equivalente a la derivada temporal de las variables de Flaschka. La elección
donde f (n + 1) y f (n-1) son los operadores de desplazamiento, implica que el operadores L (t) para diferentes t son unitariamente equivalente.
La matriz tiene la propiedad de que sus valores propios son invariantes en el tiempo. Estos valores propios constituyen integrales independientes de movimiento, por lo que la red de Toda es completamente integrable. En particular, la red de Toda se puede resolver en virtud de la transformada de dispersión inversa para el operador L de Jacobi . El resultado principal implica que las condiciones iniciales de descomposición arbitrarias (suficientemente rápidas) asintóticamente para t grandes se dividen en una suma de solitones y una parte dispersiva en descomposición .
Ver también
Referencias
- Krüger, Helge; Teschl, Gerald (2009), "Asintóticos a largo plazo del enrejado de Toda para datos iniciales en descomposición revisitados", Rev. Math. Phys. , 21 (1): 61–109, arXiv : 0804.4693 , Bibcode : 2009RvMaP..21 ... 61K , doi : 10.1142 / S0129055X0900358X , MR 2493113
- Teschl, Gerald (2000), Operadores Jacobi y celosías no lineales completamente integrables , Providence: Amer. Matemáticas. Soc., ISBN 978-0-8218-1940-1, MR 1711536
- Teschl, Gerald (2001), "Casi todo lo que siempre quiso saber sobre la ecuación de Toda" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 103 (4): 149-162, MR 1879178
- Eugene Gutkin, Hamiltonianos integrables con potencial exponencial, Physica 16D (1985) 398-404. doi : 10.1016 / 0167-2789 (85) 90017-X
- Toda, Morikazu (1967), "Vibración de una cadena con una interacción no lineal", J. Phys. Soc. Jpn. , 22 (2): 431–436, Bibcode : 1967JPSJ ... 22..431T , doi : 10.1143 / JPSJ.22.431
- Toda, Morikazu (1989), Teoría de celosías no lineales , Springer Series in Solid-State Sciences, 20 (2 ed.), Berlín: Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-83219-2 , ISBN 978-0-387-10224-5, MR 0971987
enlaces externos
- EW Weisstein, Toda Lattice en ScienceWorld
- G. Teschl, The Toda Lattice
- J Phys Un número especial sobre los cincuenta años del enrejado de Toda