Numeración de Ostrowski

En matemáticas, la numeración de Ostrowski , que lleva el nombre de Alexander Ostrowski , es uno de los dos sistemas de numeración relacionados basados ​​en fracciones continuas : un sistema de numeración posicional no estándar para números enteros y una representación no entera de números reales .

Fijar un número irracional positivo α con expansión de fracción continua [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ...]. Sea ( q _n ) la secuencia de denominadores de los convergentes p _n / q _n a α: entonces q _n = a _n q _{n −1} + q _{n −2} . Deje que α _n denote T ⁿ ( α ) donde T es el mapa de Gauss T (x ) = {1 / x }, y escriba β _n = (−1) ^{n +1} α ₀ α ₁ ... α _n : tenemos β _n = a _n β _{n −1} + β _{n −2} .

Representaciones de números reales

Cada x real positivo se puede escribir como

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\beta _{n}\ }$

donde los coeficientes enteros 0 ≤ b _n ≤ a _n y si b _n = a _n entonces b _{n −1} = 0.

Representaciones enteras

Cada entero positivo N se puede escribir de forma única como

${\displaystyle N=\sum _{n=1}^{k}b_{n}q_{n}\ }$

donde los coeficientes enteros 0 ≤ b _n ≤ a _n y si b _n = a _n entonces b _{n −1} = 0.

Si α es la proporción áurea , a continuación, todos los cocientes parciales de un _n son iguales a 1, el denominador q _n son los números de Fibonacci y que recuperan el teorema de Zeckendorf en la representación de Fibonacci de números enteros positivos como la suma de los números de Fibonacci no consecutivos distintos.

Ver también

• Secuencia completa

Referencias

• Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Secuencias automáticas: teoría, aplicaciones, generalizaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl  1086.11015 ..
• Epifanio, C .; Frougny, C .; Gabriele, A .; Mignosi, F .; Shallit, J. (2012). "Gráficos Sturmian y representaciones enteras sobre sistemas de numeración" . Aplicación discreta Matemáticas . 160 (4–5): 536–547. doi : 10.1016 / j.dam.2011.10.029 . ISSN  0166-218X . Zbl  1237.68134 .
• Ostrowski, Alexander (1921). "Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen". Hamb. Abh. (en alemán). 1 : 77–98. JFM  48.0197.04 .
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, Anne (eds.). Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria . Apuntes de clase en matemáticas. 1794 . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44141-7. Zbl  1014.11015 .