Una representación no entera utiliza números no enteros como la raíz o base de un sistema numérico posicional . Para una base no entera β> 1, el valor de
es
Los números d i son números enteros no negativos menores que β. Esto también se conoce como expansión β , una noción introducida por Rényi (1957) y estudiada por primera vez en detalle por Parry (1960) . Cada número real tiene al menos una expansión β (posiblemente infinita). El conjunto de todas las expansiones β que tienen una representación finita es un subconjunto del anillo Z [β, β −1 ] .
Existen aplicaciones de las expansiones β en la teoría de la codificación ( Kautz 1965 ) y modelos de cuasicristales ( Burdik et al. 1998 ; Thurston 1989 ).
Construcción
Las expansiones β son una generalización de las expansiones decimales . Si bien las expansiones decimales infinitas no son únicas (por ejemplo, 1.000 ... = 0.999 ... ), todas las expansiones decimales finitas son únicas. Sin embargo, incluso las expansiones β finitas no son necesariamente únicas, por ejemplo, φ + 1 = φ 2 para β = φ , la proporción áurea . Una elección canónica para la expansión β de un número real dado se puede determinar mediante el siguiente algoritmo codicioso , esencialmente debido a Rényi (1957) y formulado como lo da aquí Frougny (1992) .
Sea β > 1 la base yx un número real no negativo. Denote por ⌊ x ⌋ la función de piso de x , es decir, el mayor entero menor o igual que x , y sea { x } = x - ⌊ x the la parte fraccionaria de x . Existe un número entero k tal que β k ≤ x < β k +1 . Colocar
y
Para k - 1 ≥ j > −∞ , ponga
En otras palabras, la expansión β canónica de x se define eligiendo el mayor d k tal que β k d k ≤ x , luego eligiendo el mayor d k −1 tal que β k d k + β k −1 d k - 1 ≤ x , etc. Por lo tanto, elige la cadena lexicográficamente más grande que representa x .
Con una base entera, esto define la expansión de la raíz habitual para el número x . Esta construcción extiende el algoritmo habitual a valores posiblemente no enteros de β .
Conversión
Siguiendo los pasos anteriores, podemos crear una expansión β para un número real . Los pasos son idénticos para un, aunque n primero debe multiplicarse por−1 para que sea positivo, entonces el resultado debe multiplicarse por−1 para que vuelva a ser negativo.
Primero, debemos definir nuestro valor k (el exponente de la potencia más cercana de β mayor que n , así como la cantidad de dígitos en, dónde es n escrito en base β ). El valor k para n y β se puede escribir como:
Después de encontrar un valor de k ,se puede escribir como d , donde
para k - 1 ≥ j > −∞ . Los primeros k valores de d aparecen a la izquierda del lugar decimal.
Esto también se puede escribir en el siguiente pseudocódigo:
función toBase ( n , b ) { k = piso ( log ( b , n )) + 1 precisión = 8 resultado = ""para ( i = k - 1 , i > - precisión - 1 , i - ) { if ( resultado . longitud == k ) resultado + = "."dígito = piso (( n / b ^ i ) mod b ) n - = dígito * b ^ i resultado + = dígito }devolver resultado }
Tenga en cuenta que el código anterior solo es válido para y , ya que no convierte cada dígito en sus símbolos correctos o números negativos correctos. Por ejemplo, si el valor de un dígito es10 , se representará como10 en lugar de A .
Código de implementación de ejemplo
A la base π
- Javascript: [1]
función toBasePI ( num , precisión = 8 ) { let k = Math . piso ( Math . log ( num ) / Math . log ( Math . PI )) + 1 ; si ( k < 0 ) k = 0 ; let digits = []; para ( dejo i = k - 1 ; i > ( - 1 * de precisión ) - 1 ; i - ) { dejar dígitos = Math . piso (( num / Math . pow ( Math . PI , i )) % Math . PI ); num - = dígito * Matemáticas . pow ( Math . PI , i ); dígitos . empujar ( dígito ); si ( num <= 0 ) romper ; } if ( dígitos . longitud > k ) dígitos . empalme ( k , 0 , "." ); devolver dígitos . unirse ( "" ); }
Desde la base π
- Javascript: [1]
function fromBasePI ( num ) { let numberSplit = num . dividir ( /\./g ); let numberLength = numberSplit [ 0 ]. longitud ; deje salida = 0 ; let digits = numberSplit . unirse ( "" ); para ( sea i = 0 ; i < dígitos . longitud ; i ++ ) { salida + = dígitos [ i ] * Math . pow ( Math . PI , numberLength - i - 1 ); } salida de retorno ; }
Ejemplos de
Base √ 2
La base √ 2 se comporta de manera muy similar a la base 2, ya que todo lo que uno tiene que hacer para convertir un número binario en base √ 2 es poner un dígito cero entre cada dígito binario; por ejemplo, 1911 10 = 11101110111 2 se convierte en 101010001010100010101 √ 2 y 5118 10 = 1001111111110 2 se convierte en 100000101010101010101010100 √ 2 . Esto significa que cada número entero se puede expresar en base √ 2 sin la necesidad de un punto decimal. La base también puede ser utilizado para mostrar la relación entre el lado de un cuadrado a su diagonal como un cuadrado con una longitud lateral de 1 √ 2 tendrá una diagonal de 10 √ 2 y un cuadrado con una longitud lateral de 10 √ 2 voluntad tener una diagonal de 100 √ 2 . Otro uso de la base es mostrar la proporción de plata ya que su representación en la base √ 2 es simplemente 11 √ 2 . Además, el área de un octágono regular con longitud de lado 1 √ 2 es 1100 √ 2 , el área de un octágono regular con longitud de lado 10 √ 2 es 110000 √ 2 , el área de un octágono regular con longitud de lado 100 √ 2 es 11000000 √ 2 , etc…
Base dorada
En la base áurea, algunos números tienen más de un equivalente en base decimal: son ambiguos . Por ejemplo: 11 φ = 100 φ .
Base ψ
También hay algunos números en la base ψ que también son ambiguos. Por ejemplo, 101 ψ = 1000 ψ .
Base e
Con base e, el logaritmo natural se comporta como el logaritmo común como ln (1 e ) = 0, ln (10 e ) = 1, ln (100 e ) = 2 y ln (1000 e ) = 3.
La base e es la opción más económica de la raíz β> 1 ( Hayes 2001 ), donde la economía de la raíz se mide como el producto de la raíz y la longitud de la cadena de símbolos necesarios para expresar un rango de valores dado.
Base π
La base π se puede utilizar para mostrar más fácilmente la relación entre el diámetro de un círculo y su circunferencia , que corresponde a su perímetro ; dado que circunferencia = diámetro × π, un círculo con un diámetro de 1 π tendrá una circunferencia de 10 π , un círculo con un diámetro de 10 π tendrá una circunferencia de 100 π , etc. Además, dado que el área = π × radio 2 , un círculo con un radio de 1 π tendrá un área de 10 π , un círculo con un radio de 10 π tendrá un área de 1000 π y un círculo con un radio de 100 π tendrá un área de 100000 π . [2]
Propiedades
En ningún sistema numérico posicional se puede expresar cada número de forma única. Por ejemplo, en diez base, el número 1 tiene dos representaciones: 1.000 ... y 0,999 ... . El conjunto de números con dos representaciones diferentes es denso en los reales ( Petkovšek 1990 ), pero la cuestión de clasificar los números reales con expansiones β únicas es considerablemente más sutil que la de las bases enteras ( Glendinning y Sidorov 2001 ).
Otro problema es clasificar los números reales cuyas expansiones β son periódicas. Sea β> 1 y Q (β) sea la extensión de campo más pequeña de los racionales que contienen β. Entonces, cualquier número real en [0,1) que tenga una expansión β periódica debe estar en Q (β). Por otro lado, no es necesario que lo contrario sea cierto. Lo contrario es válido si β es un número de Pisot ( Schmidt 1980 ), aunque no se conocen las condiciones necesarias y suficientes.
Ver también
- Codificador beta
- Sistemas de numeración posicional no estándar
- Expansión decimal
- Serie de potencia
- Numeración de Ostrowski
Referencias
- ^ a b c https://decimalsystem.js.org
- ^ "Bases de números extraños" . DataGenetics . Consultado el 1 de febrero de 2018 .
- Bugeaud, Yann (2012), Distribución módulo uno y aproximación diofántica , Cambridge Tracts in Mathematics, 193 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-11169-0, Zbl 1260.11001
- Burdik, Č .; Frougny, Ch .; Gazeau, JP; Krejcar, R. (1998), "Beta-enteros como sistemas de conteo natural para cuasicristales", Journal of Physics A: Mathematical and General , 31 (30): 6449-6472, Bibcode : 1998JPhA ... 31.6449B , CiteSeerX 10.1. 1.30.5106 , doi : 10.1088 / 0305-4470 / 31/30/011 , ISSN 0305-4470 , MR 1644115.
- Frougny, Christiane (1992), "Cómo escribir números enteros en una base no entera" , LATIN '92 , Lecture Notes in Computer Science, 583/1992, Springer Berlin / Heidelberg, págs. 154-164, doi : 10.1007 / BFb0023826 , ISBN 978-3-540-55284-0, ISSN 0302-9743.
- Glendinning, Paul ; Sidorov, Nikita (2001), "Representaciones únicas de números reales en bases no enteras" , Mathematical Research Letters , 8 (4): 535–543, doi : 10.4310 / mrl.2001.v8.n4.a12 , ISSN 1073- 2780 , MR 1851269.
- Hayes, Brian (2001), "Third base" , American Scientist , 89 (6): 490–494, doi : 10.1511 / 2001.40.3268 , archivado desde el original el 24 de marzo de 2016.
- Kautz, William H. (1965), "Códigos de Fibonacci para el control de sincronización", Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos. Transacciones sobre teoría de la información , IT-11 (2): 284-292, doi : 10.1109 / TIT.1965.1053772 , ISSN 0018-9448 , MR 0191744.
- Parry, W. (1960), "Sobre las expansiones β de los números reales", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 11 (3-4): 401-416, doi : 10.1007 / bf02020954 , hdl : 10338.dmlcz / 120535 , ISSN 0001-5954 , MR 0142719 , S2CID 116417864.
- Petkovšek, Marko (1990), "Los números ambiguos son densos", The American Mathematical Monthly , 97 (5): 408–411, doi : 10.2307 / 2324393 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2324393 , MR 1048915.
- Rényi, Alfréd (1957), "Representaciones de números reales y sus propiedades ergódicas", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 8 (3–4): 477–493, doi : 10.1007 / BF02020331 , hdl : 10338.dmlcz / 102491 , ISSN 0001-5954 , MR 0097374 , S2CID 122635654.
- Schmidt, Klaus (1980), "Sobre expansiones periódicas de números de Pisot y números de Salem", The Bulletin of the London Mathematical Society , 12 (4): 269-278, doi : 10.1112 / blms / 12.4.269 , hdl : 10338. dmlcz / 141479 , ISSN 0024-6093 , Sr. 0576976.
- Thurston, WP (1989), "Grupos, teselaciones y autómatas de estado finito", AMS Colloquium Lectures
Otras lecturas
- Sidorov, Nikita (2003), "Dinámica aritmética", en Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.), Temas de dinámica y teoría ergódica. Documentos de estudio y minicursos presentados en la conferencia internacional y el taller entre Estados Unidos y Ucrania sobre sistemas dinámicos y teoría ergódica, Katsiveli, Ucrania, 21 al 30 de agosto de 2000 , Lond. Matemáticas. Soc. Lect. Note Ser., 310 , Cambridge: Cambridge University Press , págs. 145–189, ISBN 978-0-521-53365-2, Zbl 1051.37007
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Base" . MathWorld .