En el análisis no estándar , una rama de las matemáticas , el desbordamiento (denominado desbordamiento por Goldblatt (1998, p. 129)) es una técnica de prueba ampliamente utilizada. Se basa en el hecho de que el conjunto de números naturales estándar N no es un subconjunto interno del conjunto interno * N de números hipernaturales .
Aplicando el principio de inducción para los enteros estándar N y el principio de transferencia obtenemos el principio de inducción interna :
Para cualquier subconjunto interno A de * N , si
- 1 es un elemento de A , y
- para cada elemento n de A , n + 1 también pertenece a A ,
luego
- A = * N
Si N fuera un conjunto interno, entonces instanciando el principio de inducción interno con N , seguiría N = * N, lo cual se sabe que no es el caso.
El principio de desbordamiento tiene varias consecuencias útiles:
- El conjunto de hiperreal estándar no es interno.
- El conjunto de hiperreal limitado no es interno.
- El conjunto de hiperreal infinitesimales no es interno.
En particular:
- Si un conjunto interno contiene todos los hiperreal no negativos infinitesimales, contiene un hiperreal positivo no infinitesimal (o apreciable ).
- Si un conjunto interno contiene N que contiene un elemento ilimitada (infinito) de * N .
Ejemplo
Estos hechos pueden ser utilizados para demostrar la equivalencia de las dos condiciones siguientes para un interno ƒ función hyperreal de valor definido en * R .
y
La prueba de que el segundo hecho implica el primero usa el desbordamiento, ya que dado un ε positivo no infinitesimal ,
Aplicando el desbordamiento, obtenemos un δ apreciable positivo con las propiedades requeridas.
Estas condiciones equivalentes expresan la propiedad conocida en el análisis no estándar como S - continuidad (o microcontinuidad ) de f en x . La continuidad S se denomina propiedad externa. La primera definición es externa porque implica una cuantificación únicamente sobre valores estándar. La segunda definición es externa porque involucra la relación externa de ser infinitesimal.
Referencias
- Robert Goldblatt (1998). Conferencias sobre los hiperrealistas. Una introducción al análisis no estándar. Saltador.