En la teoría de modelos , un principio de transferencia establece que todos los enunciados de algún lenguaje que son verdaderos para alguna estructura son verdaderos para otra estructura. Uno de los primeros ejemplos fue el principio de Lefschetz , que establece que cualquier oración en el lenguaje de campos de primer orden que sea verdadera para los números complejos también lo es para cualquier campo algebraicamente cerrado de característica 0 .
Historia
Leibniz describió una forma incipiente de principio de transferencia con el nombre de " Ley de Continuidad ". [1] Aquí se espera que los infinitesimales tengan las "mismas" propiedades que los números apreciables . El principio de transferencia también puede verse como una formalización rigurosa del principio de permanencia . Se encuentran tendencias similares en Cauchy , que utilizó infinitesimales para definir tanto la continuidad de funciones (en Cours d'Analyse ) como una forma de la función delta de Dirac . [1] : 903
En 1955, Jerzy Łoś demostró el principio de transferencia para cualquier sistema numérico hiperreal . Su uso más común es en Abraham Robinson 's análisis no estándar de los número hiperreal , donde los estados principio de transferencia que cualquier frase expresable en un determinado lenguaje formal que es el caso de los números reales también es cierto de número hiperreal.
Principio de transferencia para los hiperrealistas
El principio de transferencia se refiere a la relación lógica entre las propiedades de los números reales R y las propiedades de un campo más grande denominado * R llamado números hiperreal . El campo * R incluye, en particular, números infinitesimales ("infinitamente pequeños"), proporcionando una rigurosa realización matemática de un proyecto iniciado por Leibniz.
La idea es expresar el análisis de más de R en un idioma adecuado de la lógica matemática , y luego señalar que este lenguaje se aplica igualmente bien a * R . Esto resulta posible porque, en el nivel de la teoría de conjuntos, se interpreta que las proposiciones en tal lenguaje se aplican sólo a conjuntos internos en lugar de a todos los conjuntos. Como dijo Robinson , las oraciones de [la teoría] se interpretan en * R en el sentido de Henkin . [2]
El teorema según el cual cada proposición válida sobre R , también es válida sobre * R , se llama principio de transferencia.
Hay varias versiones diferentes del principio de transferencia, dependiendo del modelo de matemáticas no estándar que se esté utilizando. En términos de teoría de modelos, el principio de transferencia establece que un mapa de un modelo estándar a un modelo no estándar es una incrustación elemental (una incrustación que preserva los valores de verdad de todos los enunciados en un lenguaje), o algunas veces una incrustación elemental acotada (similar, pero solo para declaraciones con cuantificadores acotados ).
El principio de transferencia parece conducir a contradicciones si no se maneja correctamente. Por ejemplo, dado que los números hiperreales forman un campo ordenado que no es de Arquímedes y los reales forman un campo ordenado de Arquímedes, la propiedad de ser Arquímedes ("todo real positivo es mayor que 1 / n para algún entero positivo n ") parece a primera vista no satisfacer el principio de transferencia. El enunciado "todo hiperreal positivo es mayor que 1 / n para algún entero positivo n " es falso; sin embargo, la interpretación correcta es "todo hiperreal positivo es mayor que 1 / n para algún hiperinteger positivo n ". En otras palabras, los hiperreales parecen ser Arquímedes para un observador interno que vive en el universo no estándar, pero parecen no Arquímedes para un observador externo fuera del universo.
Una formulación accesible para estudiantes de primer año del principio de transferencia es el libro de Keisler Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal .
Ejemplo
Cada real satisface la desigualdad
dónde es la función de la parte entera . Mediante una aplicación típica del principio de transferencia, todo hiperreal satisface la desigualdad
dónde es la extensión natural de la función de parte entera. Sies infinito, entonces el hiperinteger también es infinito.
Generalizaciones del concepto de número
Históricamente, el concepto de número se ha generalizado repetidamente. La suma de 0 a los números naturalesfue un gran logro intelectual en su tiempo. La suma de enteros negativos para formarya constituía un alejamiento del ámbito de la experiencia inmediata al ámbito de los modelos matemáticos. La extensión adicional, los números racionales, es más familiar para un profano que su finalización , en parte porque los reales no corresponden a ninguna realidad física (en el sentido de medición y cálculo) diferente de la representada por . Por lo tanto, la noción de un número irracional no tiene sentido ni siquiera para la computadora de punto flotante más poderosa. La necesidad de tal extensión no se deriva de la observación física, sino más bien de los requisitos internos de la coherencia matemática. Los infinitesimales entraron en el discurso matemático en un momento en que los desarrollos matemáticos de la época requerían tal noción, es decir, el surgimiento de lo que se conoció como el cálculo infinitesimal . Como ya se mencionó anteriormente, la justificación matemática de esta última extensión se retrasó tres siglos. Keisler escribió:
- "Al discutir la línea real, observamos que no tenemos forma de saber cómo es realmente una línea en el espacio físico. Podría ser como la línea hiperreal, la línea real o ninguna de las dos. Sin embargo, en aplicaciones del cálculo, es Es útil imaginar una línea en el espacio físico como una línea hiperreal ".
El desarrollo autoconsistente de los hiperrealistas resultó ser posible si cada enunciado lógico verdadero de primer orden que usa aritmética básica (los números naturales , más, tiempos, comparación) y cuantifica solo sobre los números reales se asumiera como verdadero en una forma reinterpretada si suponemos que cuantifica sobre números hiperreales. Por ejemplo, podemos afirmar que por cada número real hay otro número mayor que él:
Lo mismo se aplicará también a los hiperrealistas:
Otro ejemplo es la afirmación de que si suma 1 a un número, obtiene un número mayor:
que también se mantendrá para los hiperrealistas:
El enunciado general correcto que formula estas equivalencias se llama principio de transferencia. Tenga en cuenta que, en muchas fórmulas de análisis, la cuantificación se realiza sobre objetos de orden superior, como funciones y conjuntos, lo que hace que el principio de transferencia sea algo más sutil de lo que sugieren los ejemplos anteriores.
Diferencias entre R y * R
Sin embargo, el principio de transferencia no significa que R y * R tengan un comportamiento idéntico. Por ejemplo, en * R existe un elemento ω tal que
pero no existe tal número en R . Esto es posible porque la inexistencia de este número no se puede expresar como una declaración de primer orden del tipo anterior. Un número hiperreal como ω se llama infinitamente grande; los recíprocos de los números infinitamente grandes son los infinitesimales.
Los hiperreal * R forman un campo ordenado que contiene los reales R como subcampo. A diferencia de los reales, los hiperrealistas no forman un espacio métrico estándar , pero en virtud de su orden llevan una topología de orden .
Construcciones de los hiperrealistas
Los hiperrealistas pueden desarrollarse axiomáticamente o por métodos orientados más constructivamente. La esencia del enfoque axiomático es afirmar (1) la existencia de al menos un número infinitesimal y (2) la validez del principio de transferencia. En la siguiente subsección ofrecemos un esquema detallado de un enfoque más constructivo. Este método permite construir los hiperrealistas si se le da un objeto de teoría de conjuntos llamado ultrafiltro , pero el ultrafiltro en sí no puede construirse explícitamente. Vladimir Kanovei y Shelah [3] dan una construcción de una extensión elemental definible y numerablemente saturada de la estructura que consta de los reales y todas las relaciones finitarias sobre ella.
En su forma más general, la transferencia es una incrustación elemental limitada entre estructuras.
Declaración
El campo ordenado * R de los números reales no estándar incluye adecuadamente el verdadero campo R . Como todos los campos ordenados que incluyen correctamente R , este campo no es de Arquímedes . Significa que algunos miembros x ≠ 0 de * R son infinitesimales , es decir,
El único infinitesimal en R es 0. Algunos otros miembros de * R , los recíprocos y de los infinitesimales distintos de cero, son infinitos, es decir,
El conjunto subyacente del campo * R es la imagen de R bajo un mapeo A ↦ * A partir de subconjuntos A de R a subconjuntos de * R . En cada caso
con igualdad si y solo si A es finito. Conjuntos de la forma * A para algunosson llamados estándar subconjuntos de * R . Los conjuntos estándar pertenecen a una clase mucho mayor de subconjuntos de * R llamados conjuntos internos . De manera similar, cada función
se extiende a una función
se denominan funciones estándar y pertenecen a una clase mucho más amplia de funciones internas . Los conjuntos y funciones que no son internos son externos .
La importancia de estos conceptos se deriva de su papel en la siguiente proposición y se ilustra con los ejemplos que la siguen.
El principio de transferencia:
- Suponga que una proposición que es verdadera de * R puede expresarse a través de funciones de un número finito de variables (p. Ej. ( X , y ) ↦ x + y ), relaciones entre un número finito de variables (p. Ej. X ≤ y ), conectivos lógicos finitos como y , o , no , si ... entonces ... , y los cuantificadores
- Por ejemplo, una de esas proposiciones es
- Tal proposición es verdadera en R si y solo si es verdadera en * R cuando el cuantificador
- reemplaza
- y de manera similar para .
- Supongamos que una proposición expresable de otra manera tan simplemente como las consideradas anteriormente menciona algunos conjuntos particulares . Tal proposición es verdadera en R si y sólo si es verdad en * R con cada uno de tales " A " sustituido por el correspondiente * A . A continuación, se muestran dos ejemplos:
- El conjunto
- debe ser
- incluyendo no solo miembros de R entre 0 y 1 inclusive, sino también miembros de * R entre 0 y 1 que difieren de aquellos por infinitesimales. Para ver esto, observe que la oración
- es cierto en R , y aplica el principio de transferencia.
- El conjunto * N no debe tener límite superior en * R (ya que la oración que expresa la inexistencia de un límite superior de N en R es lo suficientemente simple como para que el principio de transferencia se aplique a él) y debe contener n + 1 si contiene n , pero no debe contener nada entre n y n + 1. Los miembros de
- son "números enteros infinitos".)
- Suponga que una proposición expresable de otra manera tan simplemente como las consideradas anteriormente contiene el cuantificador
- Tal proposición es verdadera en R si y solo si es verdadera en * R después de los cambios especificados anteriormente y el reemplazo de los cuantificadores por
- y
Tres ejemplos
El escenario apropiado para el principio de transferencia hiperreal es el mundo de las entidades internas . Por lo tanto, la propiedad de ordenamiento correcto de los números naturales por transferencia produce el hecho de que cada subconjunto interno detiene un elemento mínimo. En esta sección, los conjuntos internos se analizan con más detalle.
- Cada no vacío interno subconjunto de * R que tiene un límite superior en * R tiene un extremo superior en * R . En consecuencia, el conjunto de todos los infinitesimales es externo.
- El principio de buen ordenamiento implica que cada subconjunto interno no vacío de * N tiene un miembro más pequeño. En consecuencia, el conjunto
- de todos los enteros infinitos es externo.
- Si n es un número entero infinito, entonces el conjunto {1, ..., n } (que no es estándar) debe ser interno. Para probar esto, primero observe que lo siguiente es trivialmente cierto:
- como consecuencia
- Al igual que con los conjuntos internos, también con las funciones internas: Reemplazar
- con
- al aplicar el principio de transferencia, y de manera similar con en lugar de .
- Por ejemplo: si n es un número entero infinito, entonces el complemento de la imagen de cualquier función interna uno a uno ƒ del conjunto infinito {1, ..., n } en {1, ..., n , n + 1, n + 2, n + 3} tiene exactamente tres miembros por el principio de transferencia. Debido a la infinitud del dominio, los complementos de las imágenes de las funciones uno a uno del primer conjunto al último vienen en muchos tamaños, pero la mayoría de estas funciones son externas.
- Este último ejemplo motiva una definición importante: Un subconjunto * -finito (pronunciado en estrella-finito ) de * R es uno que se puede colocar en correspondencia interna uno a uno con {1, ..., n } para algunos n ∈ * N .
Ver también
- Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal
- Principio de permanencia
- Generalidad del álgebra
Notas
- ↑ a b Keisler, H. Jerome. "Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal" . pag. 902.
- ^ Robinson, A. La metafísica del cálculo, en Problemas en la filosofía de las matemáticas, ed. Lakatos (Amsterdam: North Holland), págs. 28–46, 1967. Reimpreso en 1979 Collected Works. Página 29.
- ^ Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), "Un modelo no estándar definible de los reales" (PDF) , Journal of Symbolic Logic , 69 : 159-164, arXiv : math / 0311165 , doi : 10.2178 / jsl / 1080938834
Referencias
- Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3a ed.), Elsevier , ISBN 978-0-444-88054-3
- Hardy, Michael: "Álgebras booleanas escaladas". Adv. en Appl. Matemáticas. 29 (2002), núm. 2, 243-292.
- Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), "Un modelo no estándar definible de los reales" (PDF) , Journal of Symbolic Logic , 69 : 159-164, arXiv : math / 0311165 , doi : 10.2178 / jsl / 1080938834
- Keisler, H. Jerome (2000). "Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal" .
- Kuhlmann, F.-V. (2001) [1994], "Principio de transferencia" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
- Łoś, Jerzy (1955) Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d'algèbres. Interpretación matemática de sistemas formales, págs. 98-113. North-Holland Publishing Co., Ámsterdam.
- Robinson, Abraham (1996), análisis no estándar , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3, MR 0205854