p-laplaciano

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En matemáticas , el p -Laplaciano , o el operador p -Laplace, es un operador diferencial parcial elíptico cuasilineal de segundo orden. Es una generalización no lineal del operador de Laplace , donde se permite variar . esta escrito como${\ estilo de visualización p}$${\displaystyle 1<p<\infty}$

Donde el se define como${\displaystyle |\nabla tu|^{p-2}}$

En el caso especial cuando , este operador se reduce al laplaciano habitual . ^[1] En general, las soluciones de ecuaciones que involucran el p -Laplaciano no tienen derivadas de segundo orden en el sentido clásico, por lo que las soluciones de estas ecuaciones deben entenderse como soluciones débiles . Por ejemplo, decimos que una función u perteneciente al espacio de Sobolev es una solución débil de${\ estilo de visualización p = 2}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega)}$

si para cada función de prueba tenemos${\displaystyle \varphi \in C_{0}^{\infty}(\Omega )}$

donde denota el producto escalar estándar .${\ estilo de visualización \ cdot}$

en un dominio es el minimizador de la energía funcional${\displaystyle \Omega \subconjunto \mathbb {R} ^{N}}$

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