En matemáticas , una solución débil (también llamada solución generalizada ) a una ecuación diferencial ordinaria o parcial es una función para la cual las derivadas pueden no existir todas, pero que, no obstante, se considera que satisface la ecuación en algún sentido definido con precisión. Hay muchas definiciones diferentes de solución débil, apropiadas para diferentes clases de ecuaciones. Uno de los más importantes se basa en la noción de distribuciones .
Evitando el lenguaje de las distribuciones, uno comienza con una ecuación diferencial y la reescribe de tal manera que no aparezcan derivadas de la solución de la ecuación (la nueva forma se llama formulación débil y las soluciones a ella se llaman soluciones débiles ). . Sorprendentemente, una ecuación diferencial puede tener soluciones que no son diferenciables ; y la formulación débil permite encontrar tales soluciones.
Las soluciones débiles son importantes porque una gran cantidad de ecuaciones diferenciales encontradas en el modelado de fenómenos del mundo real no admiten soluciones suficientemente suaves, y la única forma de resolver tales ecuaciones es utilizando la formulación débil. Incluso en situaciones en las que una ecuación tiene soluciones diferenciables, a menudo es conveniente probar primero la existencia de soluciones débiles y solo después mostrar que esas soluciones son lo suficientemente suaves.
Un ejemplo concreto
Como ilustración del concepto, considere la ecuación de onda de primer orden :
( 1 )
donde u = u ( t , x ) es una función de dos variables reales . Para probar indirectamente las propiedades de una posible solución u , se la integra contra una función suave arbitraria de soporte compacto , conocido como función de prueba, tomando
Por ejemplo, si es una distribución de probabilidad uniforme concentrada cerca de un punto , la integral es aproximadamente . Note que mientras las integrales van de a , son esencialmente sobre una caja finita donde no es cero.
Por lo tanto, suponga que una solución u es continuamente diferenciable en el espacio euclidiano R 2 , multiplique la ecuación ( 1 ) por una función de prueba (suave de soporte compacto) e integrar:
Usando el teorema de Fubini que permite intercambiar el orden de integración, así como la integración por partes (en t para el primer término y en x para el segundo término) esta ecuación se convierte en:
( 2 )
(Los términos de frontera desaparecen desde es cero fuera de una caja finita.) Hemos demostrado que la ecuación ( 1 ) implica la ecuación ( 2 ) siempre que u sea continuamente diferenciable.
La clave del concepto de solución débil es que existen funciones u que satisfacen la ecuación ( 2 ) para cualquier, pero tal u puede no ser diferenciable y, por lo tanto, no puede satisfacer la ecuación ( 1 ). Un ejemplo es u ( t , x ) = | t - x |, como se puede comprobar dividiendo las integrales en las regiones x ≥ t y x ≤ t donde u es suave , e invirtiendo el cálculo anterior utilizando la integración por partes. Una solución débil de la ecuación ( 1 ) significa cualquier solución u de la ecuación ( 2 ) sobre todas las funciones de prueba..
Caso general
La idea general que se sigue de este ejemplo es que, al resolver una ecuación diferencial en u , se puede reescribir usando una función de prueba , de modo que cualesquiera derivadas en u que aparezcan en la ecuación, se "transfieren" mediante la integración por partes a, resultando en una ecuación sin derivadas de u . Esta nueva ecuación generaliza la ecuación original para incluir soluciones que no son necesariamente diferenciables.
El enfoque ilustrado anteriormente funciona con gran generalidad. De hecho, considere un operador diferencial lineal en un conjunto abierto W en R n :
donde el índice múltiple ( α 1 , α 2 ,…, α n ) varía sobre un conjunto finito en N n y los coeficientesson funciones suficientemente suaves de x en R n .
La ecuación diferencial P ( x , ∂ ) u ( x ) = 0 puede, después de ser multiplicada por una función de prueba suavecon soporte compacto en W e integrado por partes, escribirse como
donde el operador diferencial Q ( x , ∂ ) viene dado por la fórmula
El número
aparece porque uno necesita α 1 + α 2 + ⋯ + α n integraciones por partes para transferir todas las derivadas parciales de u a en cada término de la ecuación diferencial, y cada integración por partes implica una multiplicación por -1.
El operador diferencial Q ( x , ∂ ) es el adjunto formal de P ( x , ∂ ) (cf adjunto de un operador ).
En resumen, si el problema original (fuerte) era encontrar un | α | -veces función diferenciable u definida en el conjunto abierto W tal que
(una supuesta solución fuerte ), entonces se diría que una función integrable u es una solución débil si
para cada función suave con soporte compacto en W .
Otros tipos de solución débil
La noción de solución débil basada en distribuciones es a veces inadecuada. En el caso de los sistemas hiperbólicos , la noción de solución débil basada en distribuciones no garantiza la unicidad, y es necesario complementarla con condiciones de entropía o algún otro criterio de selección. En la PDE completamente no lineal, como la ecuación de Hamilton-Jacobi , existe una definición muy diferente de solución débil llamada solución de viscosidad .
Referencias
- Evans, LC (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0772-2.