Teorema de la unidad de Dirichlet

En matemáticas , el teorema de la unidad de Dirichlet es un resultado básico en la teoría algebraica de números debido a Peter Gustav Lejeune Dirichlet . ^[1] Determina el rango del grupo de unidades en el anillo O _K de enteros algebraicos de un cuerpo numérico K . El regulador es un número real positivo que determina qué tan "densas" son las unidades.

El enunciado es que el grupo de unidades se genera finitamente y tiene un rango (número máximo de elementos multiplicativamente independientes) igual a

donde r ₁ es el número de incrustaciones reales y r ₂ el número de pares conjugados de incrustaciones complejas de K . Esta caracterización de r ₁ y r ₂ se basa en la idea de que habrá tantas formas de incluir K en el campo de números complejos como el grado ; estos estarán en los números reales , o en pares de incrustaciones relacionadas por conjugación compleja , de modo que${\displaystyle n=[K:\mathbb {Q}]}$

Tenga en cuenta que si K es Galois sobre entonces r ₁ = 0 o r ₂ = 0 .${\ estilo de visualización \ mathbb {Q}}$

Como ejemplo, si K es un campo cuadrático , el rango es 1 si es un campo cuadrático real y 0 si es un campo cuadrático imaginario. La teoría de los campos cuadráticos reales es esencialmente la teoría de la ecuación de Pell .

El rango es positivo para todos los campos numéricos además de los campos cuadráticos imaginarios, que tienen rango 0. El 'tamaño' de las unidades se mide en general por un determinante llamado regulador. En principio, se puede calcular efectivamente una base para las unidades; en la práctica, los cálculos son bastante complicados cuando n es grande.${\ estilo de visualización \ mathbb {Q}}$

Un dominio fundamental en el espacio logarítmico del grupo de unidades del campo cúbico cíclico K obtenido al unir a una raíz de f ( x ) = x ³ + x ² − 2 x − 1 . Si α denota una raíz de f ( x ) , entonces un conjunto de unidades fundamentales es { ε ₁ , ε ₂ } , donde ε ₁ = α ² + α − 1 y ε ₂ = 2 − α${\ estilo de visualización \ mathbb {Q}}$² . El área del dominio fundamental es aproximadamente 0,910114, por lo que el regulador de K es aproximadamente 0,525455.