En matemáticas, específicamente en teoría de grupos, grupos finitos de orden de potencias primos, para un número primo fijo y exponentes enteros variables , se denominan brevemente grupos p finitos .
El algoritmo de generación de grupos p de MF Newman [1] y EA O'Brien [2] [3] es un proceso recursivo para construir el árbol descendiente de un grupo p finito asignado que se toma como la raíz del árbol.
Exponente inferior- serie central p
Para un grupo p finito, el exponente inferior- p serie central (brevemente p -serie central inferior ) de es una serie descendente de subgrupos característicos de , definido recursivamente por
y , por .
Dado que cualquier finito no trivial p -Grupo es nilpotente, existe un entero tal que y se llama exponente- p clase (brevemente p- clase ) de. Solo el grupo trivial posee . Generalmente, para cualquier grupo p finito, su clase p se puede definir como.
La serie p- central inferior completa de por lo tanto, está dado por
,
desde es el subgrupo Frattini de.
Para comodidad del lector y para señalar la numeración desplazada, recordamos que la serie central inferior (habitual) de también es una serie descendente de subgrupos característicos de , definido recursivamente por
y , por .
Como el anterior, para cualquier finito no trivial p -Grupo, existe un entero tal que y se llama la clase de nilpotencia de, mientras que se llama el índice de nilpotencia de. Solo el grupo trivial posee .
La serie central inferior completa de es dado por
,
desde es el subgrupo de conmutadores o subgrupo derivado de.
Deben recordarse las siguientes reglas para la clase exponente- p :
Regla: Si , para algún grupo , luego , para cualquier .
Regla: para cualquier , las condiciones y implicar .
Regla: Deja . Si, luego , para todos , En particular, , para todos .
Padres y árboles descendientes
El padrede un no trivial finito p -Grupocon exponente- clase p se define como el cociente de por el último término no trivial del exponente inferior- p serie central de. Por el contrario, en este caso,se llama descendiente inmediato de. Las clases p de padre y descendiente inmediato están conectadas por.
Un árbol descendiente es una estructura jerárquica para visualizar las relaciones entre padres y descendientes entre clases de isomorfismos de grupos p finitos . Los vértices de un árbol descendiente son clases de isomorfismos de grupos p finitos . Sin embargo, un vértice siempre se etiquetará seleccionando un representante de la clase de isomorfismo correspondiente. Siempre que un vértice es el padre de un vértice un borde dirigido del árbol descendiente se define poren la dirección de la proyección canónica en el cociente .
En un árbol descendiente, los conceptos de padres y descendientes inmediatos se pueden generalizar. Un vérticees descendiente de un vértice, y es un antepasado de, si alguno es igual a o hay un camino
, dónde ,
de bordes dirigidos desde a . Los vértices que forman el camino coinciden necesariamente con los padres iterados de , con :
, dónde .
También pueden verse como cocientes sucesivos de clase p de cuando la clase p de es dado por :
, dónde .
En particular, cada no trivial finito p -Grupodefine un camino máximo (que consta de bordes)
terminando en el grupo trivial . El último cociente de la trayectoria máxima dees la elemental abeliano p -group de rango , dónde denota el rango de generador de .
Generalmente, el árbol descendientede un vértice es el subárbol de todos los descendientes de , comenzando en la raíz. El árbol descendiente máximo posible del grupo trivial contiene todos los grupos p finitos y es excepcional, ya que el grupo trivialtiene todos los infinitos grupos p abelianos elementales con rango de generador variablecomo sus descendientes inmediatos. Sin embargo, cualquier grupo p finito no trivial (de orden divisible por) posee solo un número finito de descendientes inmediatos.
p -grupo de cobertura , p -multiplicador y núcleo
Dejar ser un grupo p finito congeneradores . Nuestro objetivo es compilar una lista completa de descendientes inmediatos no isomórficos por pares de. Resulta que todos los descendientes inmediatos se pueden obtener como cocientes de cierta extensión de que se llama el grupo de cobertura p de y se puede construir de la siguiente manera.
dónde denota el grupo libre con generadores y es un epimorfismo con kernel . Luego es un subgrupo normal de que consiste en las relaciones definitorias para. Para elementos y , el conjugado y así también el conmutador están contenidos en . Como consecuencia, es un subgrupo característico de y el p -multiplicador de es un grupo p abeliano elemental , ya que
.
Ahora podemos definir el grupo de cobertura p de por
,
y la secuencia exacta
muestra que es una extensión de por el multiplicador p abeliano elemental . Nosotros llamamos
el rango de p- multiplicador de.
Supongamos ahora que el asignado finita p -groupes de clase p. Entonces las condiciones y implicar , según la regla (R3), y podemos definir el núcleo de por
como un subgrupo del p- multiplicador. En consecuencia, el rango nuclear
de está delimitado desde arriba por el rango p -multiplicator.
Subgrupos permitidos del multiplicador p
Como antes, deja ser un grupo p finito congeneradores .
Proposición. Cualquier extensión central abeliana p -elemental
de por un subgrupo abeliano p -elemental tal que es un cociente del grupo de cobertura p de .
Para la prueba, haga clic en mostrar en el lado derecho.
Prueba
La razón es que, dado que , existe un epimorfismo tal que , dónde denota la proyección canónica. En consecuencia, tenemos
y por lo tanto . Más,, desde es p -elemental, y, desde es central. Juntos esto muestra que y por lo tanto induce el epimorfismo deseado tal que .
En particular, un descendiente inmediato de es una extensión central abeliana p -elemental
de , desde
implica y ,
dónde .
Definición. Un subgrupodel p -multiplicador dese llama permisible si es dado por el kernel de un epimorfismo en un descendiente inmediato de .
Una caracterización equivalente es que es un subgrupo adecuado que complementa el núcleo
.
Por lo tanto, la primera parte de nuestro objetivo es compilar una lista de todos los descendientes inmediatos de está hecho, cuando hemos construido todos los subgrupos permitidos de que complementan el núcleo , dónde . Sin embargo, en general la lista
,
dónde , será redundante, debido a isomorfismos entre los descendientes inmediatos.
Órbitas bajo automorfismos extendidos
Dos subgrupos permitidos y se llaman equivalentes si los cocientes, que son los descendientes inmediatos correspondientes de , son isomorfos.
Tal isomorfismo entre descendientes inmediatos de con tiene la propiedad que y así induce un automorfismo de que puede extenderse a un automorfismo del grupo p -coveringde . La restricción de este automorfismo extendidoal p- multiplicador de está determinada únicamente por .
Desde , cada automorfismo extendido induce una permutación de los subgrupos permitidos . Definimosser el grupo de permutación generado por todas las permutaciones inducidas por automorfismos de. Entonces el mapa, es un epimorfismo y las clases de equivalencia de subgrupos permitidos son precisamente las órbitas de subgrupos permitidos bajo la acción del grupo de permutación.
Eventualmente, nuestro objetivo de compilar una lista de todos los descendientes inmediatos de se hará, cuando seleccionamos un representante para cada uno de los órbitas de subgrupos permitidos de bajo la acción de . Esto es precisamente lo que hace el algoritmo de generación de p -group en un solo paso del procedimiento recursivo para construir el árbol descendiente de una raíz asignada.
Grupos p capaces y tamaños de pasos
Un grupo p finitose llama capaz (o extensible ) si posee al menos un descendiente inmediato, de lo contrario es terminal (o una hoja ). El rango nuclear de admite una decisión sobre la capacidad de :
es terminal si y solo si .
es capaz si y solo si .
En el caso de la capacidad, tiene descendientes inmediatos de diferentes tamaños de pasos, en dependencia del índice del subgrupo permitido correspondiente en el p -multiplicador. Cuándo es de orden , luego un descendiente inmediato del tamaño del paso es de orden .
Para el fenómeno relacionado de multifurcación de un árbol descendiente en un vértice con rango nuclear vea el artículo sobre árboles descendientes .
El algoritmo de generación de p -group proporciona la flexibilidad para restringir la construcción de descendientes inmediatos a aquellos de un solo tamaño de paso fijo, lo cual es muy conveniente en el caso de un gran número de descendientes (consulte la siguiente sección).
Número de descendientes inmediatos
Denotamos el número de todos los descendientes inmediatos , resp. descendientes inmediatos del tamaño del paso, de por , resp. . Entonces nosotros tenemos. Como ejemplos concretos, presentamos algunos grupos p metabelianos finitos interesantes con conjuntos extensos de descendientes inmediatos, utilizando los identificadores de SmallGroups y además señalando los númerosde descendientes inmediatos capaces en el formato habitualdado por implementaciones reales del algoritmo de generación de p -grupos en los sistemas de álgebra computacional GAP y MAGMA.
Primero, deja .
Comenzamos con grupos que tienen abelianización de tipo . Consulte la Figura 4 en el artículo sobre árboles descendientes .
El grupo de coclase tiene rangos , y números descendientes , .
El grupo de coclase tiene rangos , y números descendientes , .
Uno de sus descendientes inmediatos, el grupo , tiene rangos , y números descendientes , .
Por el contrario, los grupos con abelianización de tipo están ubicados parcialmente más allá del límite de computabilidad.
El grupo de coclase tiene rangos , y números descendientes , .
El grupo de coclase tiene rangos , y números descendientes , desconocido.
El grupo de coclase tiene rangos , y números descendientes , desconocido.
A continuación, deja .
Grupos correspondientes con abelianización de tipo tienen mayor número de descendientes que para .
El grupo de coclase tiene rangos , y números descendientes , .
El grupo de coclase tiene rangos , y números descendientes , .
Multiplicador de Schur
A través del isomorfismo , el grupo del cociente puede verse como el análogo aditivo del grupo multiplicativo de todas las raíces de la unidad .
Dejar ser un número primo y ser un grupo p finito con presentacióncomo en la sección anterior. Luego, el segundo grupo de cohomología de El -módulo se llama el multiplicador de Schur de. También se puede interpretar como el grupo cociente.
IR Shafarevich [4] ha demostrado que la diferencia entre el rango de relación de y el rango del generador de está dado por el número mínimo de generadores del multiplicador de Schur de , es decir .
N. Boston y H. Nover [5] han demostrado que, para todos los cocientes de clase p, , de un grupo de prop con abelianización finita .
Por otra parte, J. Blackhurst (en el apéndice en el núcleo de ciertos p-grupos de un artículo de N. Boston, MR Bush y F. Hajir [6] ) ha demostrado que un no cíclico finito p -Grupo con multiplicador de Schur trivial es un vértice terminal en el árbol descendiente del grupo trivial , es decir, .
Ejemplos de
Un grupo p finito tiene una presentación equilibrada si y solo si , es decir, si y solo si su multiplicador de Schur es trivial. Tal grupo se llama grupo Schur y debe ser una hoja en el árbol descendiente..
Un grupo p finito satisface si y solo si , es decir, si y solo si tiene un multiplicador de Schur cíclico no trivial . Este grupo se denomina grupo Schur + 1 .
Referencias
^ Newman, MF (1977). Determinación de grupos de orden de potencias primarias . pp. 73-84, en: Teoría de grupos, Canberra, 1975, Lecture Notes in Math., Vol. 573, Springer, Berlín.
^Holt, DF, Eick, B., O'Brien, EA (2005). Manual de teoría computacional de grupos . Matemáticas discretas y sus aplicaciones, Chapman y Hall / CRC Press.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
^Shafarevich, IR (1963). "Extensiones con determinados puntos de ramificación". Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matemáticas . 18 : 71–95.Traducido en Amer. Matemáticas. Soc. Transl. (2) , 59 : 128-149, (1966).
^Boston, N., Nover, H. (2006). El cálculo de pro p grupos de Galois . Actas del Séptimo Simposio de Teoría Algorítmica de Números 2006, Lecture Notes in Computer Science 4076, 1-10, Springer, Berlín.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
^Boston, N., Bush, MR, Hajir, F. (2013). "Heurística para torres de clase p de campos cuadráticos imaginarios". Matemáticas. Ann . arXiv : 1111.4679 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )